Question

calcular el valor de S,si: S=5+8+13+20+29+...+229
a)1340
b)1300
c)1500
d)1800
e)1500

Answer 1

Calcular el valor de S, si: S=5+8+13+20+29+...+229 
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Tengo varias tareas del mismo estilo resueltas aquí en Brainly, así que para adelantar trabajo copiaré parte del texto de una de ellas. Son tareas mías y no son copia de otro usuario.

Los siguientes números se obtienen fijándose en la forma en que aumenta cada término respecto del anterior. 

Términos
de la progresión:       1º              2º             3º            4º
Progresión inicial:      5               8             13           20 ... etc
Diferencia 1:                    +3            +5           +7         ⇒ (primer orden)
Diferencia 2:                            +2            +2                ⇒ (segundo orden)

Verás que la diferencia entre términos consecutivos no es una cantidad fija sino que esa diferencia va aumentando de DOS en DOS de manera que aquí tenemos una sucesión dentro de otra sucesión.
Lo que viene llamándose SUCESIÓN CUADRÁTICA o de 2º ORDEN.

Ahí se puede observar que la diferencia entre términos es creciente. Eso sería en la "diferencia 1"

En el segundo orden "diferencia 2" es donde nos encontramos una sucesión aritmética normal donde siempre se cumple que existe una diferencia de 2 unidades entre dos términos consecutivos,  
3+2 = 5 ..... 5+2 = 7 .... 7+2 = 9 ... etc...

Lo que resulta algo más engorroso de obtener es la regla (o fórmula) que nos permita saber el valor de cualquier término de esa sucesión simplemente conociendo el lugar que ocupa en ella. Eso es lo primero que hemos de calcular para luego obtener la suma de términos que nos pide.

Si has llegado a conocer este tipo de sucesiones debes saber que el término general  (o enésimo) debe tener esta forma:  

$a_n=ax^2+bx+c$

... expresión que puede sonarte bastante al típico trinomio de una ecuación de 2º grado, de ahí el nombre de sucesión cuadrática.

Para llegar a conocer el término enésimo de esta sucesión hemos de saber el valor de los coeficientes (a, b, c) y eso se consigue sabiendo de antemano unas expresiones que determinan esos valores a partir de los primeros dígitos del desarrollo de la sucesión escrita arriba y que he remarcado en negrita.

Para conocer el valor de los coeficientes se hace esto:

1er. térm. de prog. inicial = 5 ... lo llamo C
Diferencia 1 = ---------------+3 ...  lo llamo B
Diferencia 2 = ---------------+2 ...  lo llamo A

Y ahora hay que acudir a esta expresión:

$a_n= \dfrac{A}{2}*n^2+(B- \dfrac{3}{2}*A)*n+(A-B+C)$

Es una fórmula que hay que memorizar para poder resolver las sucesiones cuadráticas.  

Sustituiré las letras A,B,C, por los valores especificados y en cuanto reduzca términos semejantes habré obtenido la regla o fórmula del término n-ésimo.

$a_n= \dfrac{2}{2}*n^2+(3- \dfrac{3}{2}*2)*n+(2-3+5) \\ \\ \\ a_n=1*n^2+0*n+4 \\ \\ a_n=n^2+4$

Ahí queda el término general de esta sucesión y que si sustituyes "n" por la sucesión de números naturales, empezando por el 1, verás que van apareciendo los términos de la sucesión inicial.

Ahora bien, como nos pide la suma de esos términos hasta llegar al término cuyo valor es 229, he de conocer qué lugar ocupa este término y sabiendo su fórmula general resulta sencillo sustituyendo... $a_n=229$

$229=n^2+4 \\ n^2=229-4 \\ n= \sqrt{225}=15$

Con esto ya sé que esa sucesión costa de 15 términos y que el último término  a₁₅ = 229

Ahora hay que acudir al procedimiento para hallar la suma de esos 15 términos para lo cual hay que recurrir a SUMATORIAS ( ∑ ) y ciertas fórmulas ya establecidas cuya explicación no procede aquí porque la tarea se haría eterna.

Hay que hacerlo en dos partes, una para el término al cuadrado y otra para el término independiente:
1ª parte)   ∑ i² = $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
donde n=15 (términos de la sucesión)

$\dfrac{15*(15+1)(2*15+1)}{6}= \dfrac{15*16*31}{6} =1240$

2ª parte)   ∑ 1 = $1*(15-1+1)=15$

Sumaré ahora los dos resultados y tengo la solución:
1240 + 15 = 1255 es la respuesta.

Aunque no coincide con ninguna de tus opciones y siempre es posible que me haya podido equivocar en alguna operación pero el razonamiento sí es correcto.

Saludos.