Question

Un jugador patea una pelota con una velocidad inicial de 22 m/s y un ángulo de 40° con respecto al eje horizontal ¿ cual es la altura máxima alcanzada por la pelota ? Considera el valor de la gravedad como 9.8m/s2

Answer 1

La altura máxima alcanzada por la pelota es de 10.20 metros

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Hallamos la altura máxima que alcanza la pelota

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large\textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(22 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (40^o) }{2 \ . \ 9.8\ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{484\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.642787609687)^{2} }{19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{484 \ . \ 0.4131759111671271 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 199.9771410048895164 }{ 19.6 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 10.2029153\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} =10.2\ metros }}$

La altura máxima que alcanza la pelota es de 10.2 metros

Aunque el enunciado no lo pida:  

Calculamos el tiempo de vuelo de la pelota

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (22 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (40^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{44\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.642787609687 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{44\ \ . \ 0.642787609687 }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{28.282654826228 }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =2.88598515\ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =2.89 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo de la pelota es de 2.89 segundos

Determinamos el alcance de la pelota

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 22 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 40^o ) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 484 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (80^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 484 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.984807753012 }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 484 \ . \ 0.984807753012 }{ 9.8 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{476.646952457808 }{ 9.8 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =48.6374441\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} = 48.64 \ metros }}$

El alcance máximo de la pelota es de 48.64 metros

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento

Como se puede apreciar se describe una parábola