Question

Un ingeniero eléctrico está instalando lámparas de iluminación externa en una bodega. Para hacerlo correctamente debe colocar la lámpara más potente en el punto más alto de la pared frontal, cuya parte superior tiene una forma parabólica. Con la ayuda de un topógrafo se ha determinado la función que describe el perfil de la parte superior de la pared: Donde h es la altura de la pared desde el piso y x es la distancia horizontal medida desde el lado izquier do de la pared , todo en metros. Si la curvatura parabólica de la pared empieza a 3 metros de altura, ¿a qué altura, de sde e l p i so , en metros, se debe instalar la lámpara más potente? ecuacion: h(x): -x2/4+3x+3

Answer 1

Buenas noches,

Para plantear el problema dado a continuación, resulta indispensable comprender la forma de la pared, la cual inicialmente posee un tramo recto de 3 metros de altura medido respecto al suelo, a partir de la cual inicia un tramo curvo que representa la función de la parábola dada por el enunciado, de características cóncavas, debido al valor negativo de su término cuadrático, de modo que para encontrar su punto más alto, se requiere definir el vértice de la misma, lo cual nos indicará la altura de mayor valor respecto a los 3 metros de suma desde el inicio de la parábola, obteniendo así finalmente la altura total en la que se colocará la lámpara de mayor potencia. Dada la expresión de la parábola:

$h(x) = - \frac{ x^{2} }{4} + 3x + 3$

Cuyos coeficientes son: $a = - \frac{1}{4}$, b = 3, c = 3. En función a los cuales se plantea el análisis del vértice, según la siguiente expresión para su componente horizontal:

$x = - \frac{b}{2a} = -\frac{3}{2*(-\frac{1}{4})} = 6$ ... Expresión (1)

Se sustituye el valor de la expresión (1) en la función de la parábola inicial, obteniendo así la componente vertical que representa la altura:

$h(6) = - \frac{ 6^{2} }{4} + 3*6 + 3 = 12$

Recordando que todos estos valores se encuentran definidos en metros, de modo que para conocer la altura final, se tiene que:

$h_{Total} = h_{tramo -recto} + h_{parabola}$ ... Expresión (2)

Donde la altura del tramo recto está asociado a los 3 metros de altura hasta que inicia el tramo curvo y la altura de la parábola es la componente vertical del vértice, así que finalmente se debe localizar la lámpara respecto al suelo a una altura:

$h_{Total} = 3 + 12 = 15$ metros.

Espero haberte ayudado.