Question

Comparación por límite
(n)/(5n^2 + 3)

Answer 1

El criterio de comparación por limite, sirve para determinar si una serie numérica dada es convergente o divergente. 

El criterio consiste en que si el límite de una función dada por dos series an y bn tal que f(x)=$\frac {an} {bn}$ , si el límite de la función es entero y positivo, entonces podemos concluir que ambas series convergen o divergen. 

De esta manera si por ejemplo conocemos que an diverge, entonces podemos aplicar el metodo de comparacion por limite para saber si bn converge o diverge. 

Lo primero que haremos es buscar si sospechamos que la serie converge o diverge. 

$\sum \frac {n} {5 n^{2} + 3}$  

Podemos notar que esta serie se parece mucho a: 

$\sum \frac {n} { n^{2}}$

Pues al sacar factor común 1/5 queda muy similar solo nos quedaria un 3/5 sumando a la n de abajo. 

$\frac {1} {5} \sum \frac {n} {n^{2} + \frac {3} {5} }$

y como sabemos que  $\sum \frac {n} { n^{2}}$ diverge, podemos usarlo para comparar con el comportamiento de la serie que queremos analizar.

Entonces vamos a realizar la comparación de nuestra serie con $\sum \frac {n} { n^{2}}$

Entonces vamos a calcular el límite de la función: 

$\lim_{n \to \infty} \frac { \frac {n} {5 n^{2} + 3}} {\frac {n} { n^{2}}}$

Aplicando doble c :

$\lim_{n \to \infty} \frac { n^{2} } {5 n^{2} + 3}$

Como el polinomio del númerador es de igual grado que el polinomio del denominador, entonces el límite va a ser la división entre los factores que multiplican a los terminos de mayor grado en ambos polinomios en este caso: 

L=$\frac {1} {5}$

Como  $\frac {1} {5}$ es un número POSITIVO y FINITO, y sabemos que $\frac {n} { n^{2}}$ DIVERGE, entonces podemos concluir que $\frac {n} {5 n^{2} + 3}$  también DIVERGE