Question

Una empresa tiene un sistema de incentivos, para sus vendedores, por la primera venta les da un sol y por cada venta sucesiva el triple que en la venta anterior¿En qué momento de venta un vendedor habrá acumulado 3280 soles?

Answer 1

La sucesión es:

$a_{n}$ = {1, 3, 9, 27...}

Para obtener cada venta siguiente, hay que multiplicar por 3 la anterior por lo que estamos ante una progresión de tipo geométrica con razón r = 3. Otro dato es el primer término:

$a=1$

Y queremos averiguar el número de términos de la sucesión hasta que la suma de ellos sea 3280.

$P_{n}=3280$

Para una progresión geométrica la suma de ''n'' términos obedece a:

$P_{n}= \frac{a(1- r^{n}) }{(1-r)}$

Donde ''Pn'' es la suma de los términos, ''a'' es el primero, ''r'' es la razón y ''n'' es el número de términos (lo que buscamos en nuestro caso). Reemplazamos lo que conocemos:

$3280= \frac{1(1- 3^{n}) }{1-3}$

El -2 pasa a multiplicar al otro lado:

$-6560=1- 3^{n}$

Multiplico todo por -1:

$6560= 3^{n}-1$

Y el -1 pasa al otro lado a sumar:

$6561=3^{n}$

$3^{n}=6561$

Para despejar 3 hay que aplicar logaritmo en base 3 a cada miembro de la ecuación o sino expresar al 6561 en esta forma:

$3^{n}= 3^{8}$

Si las bases son iguales los exponentes también. Se concluye que:

$n=8$

Respuesta: Para acumular 3280 soles un vendedor debe acumular 8 ventas. Un saludo.