Question

Cuatro objetos están sostenidos en los vértices de un rectángulo por varillas ligeras como se ve en la figura P8.31.
Encuentre el momento de inercia del sistema en relación con a) el eje x, b) el eje y y c) un eje que pasa por O y que es perpendicular a la pagina.

Answer 1

El momento de inercia de un sistema de masas puntuales se define como:

I = $xi^{2}$mi

Donde x es la distancia que hay entre la masa al eje de rotación y m es la masa.

a)Si el eje x es el eje de rotación
Todas las masas están a 3 metros de distancia del eje. Entonces se procede a calcular el momento de inercia.

I = [(3 m)^2] * (2 kg) + [(3 m)^2] * (2 kg) + [(3 m)^2] * (3 kg) + [(3 m)^2] * (4 kg)

I = (18  + 18 + 27 + 36) m^2*kg = 99 m^2 * kg

Cuando el eje x es el eje de rotación, el momento de inercia es de 99 (m^2 * kg)

b)Si el eje y es el eje de rotación
Todas las masas están a 2 metros de distancia del eje. Entonces se procede a calcular el momento de inercia.

I = [(2 m)^2] * (2 kg) + [(2 m)^2] * (2 kg) + [(2 m)^2] * (3 kg) + [(2 m)^2] * (4 kg)

I = (8  + 8 + 12 + 16) m^2*kg = 44 m^2 * kg

Cuando el eje y es el eje de rotación, el momento de inercia es de 44 (m^2 * kg)

c)Si el eje O es el eje
Para saber la distancia entre el eje y cada una de las masas es necesario utilizar el Teorema de Pitágoras. La línea que une cada masa con el eje O es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 3 metros y 2 metros. Entonces se procede a hallar el valor de la hipotenusa.

H = $\sqrt{3^2 + 2^2}$ = $\sqrt{12}$

Ahora se procede a calcular el valor del momento de inercia.

I = [($\sqrt{12}$ m)^2] * (2 kg) + [($\sqrt{12}$ m)^2] * (2 kg) + [($\sqrt{12}$ m)^2] * (3 kg) + [($\sqrt{12}$ m)^2] * (4 kg)

I = (24  + 24 + 36 + 48) m^2*kg = 132 m^2 * kg

Cuando el eje y es el eje de rotación, el momento de inercia es de 132 (m^2 * kg)

Answer 2

Respuesta:

Como observacion de la respuesta verificada, en el inciso c) la hipotenuza no es igual a $\sqrt{12}$

Explicación:

La hipotenuza es equivalente a la raiz cuadrada de la suma de los catetos al cuadrado, es decir:

$\sqrt{a^{2} + b^{2} } = c$

sustituyendo los datos nos queda:

$\sqrt{2^{2} + 3^{2} } = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Saludos :)