Question

Hallar el valor de X en :

$e ^{2x} - 2e ^{-2x} - 1 =0$

Answer 1

$e^{2x} - 2e^{-2x}-1=0$

• Cambio de variable:    $e^{2x} = z$

⇒  $z - 2z^{-1} - 1 = 0$

$z - \frac {2}{z} = 1$

$\frac {z^2-2}{z} = 1$

$z^2-2 = z$

$z^2-z - 2 = 0$

OJO.  -z = -2z + z , asi que:

$z^2-2z + z - 2 = 0 \ \ z(z-2) + (z-2) = 0 \ \ (z+1)(z-2) = 0$

Para que la igualdad sea cierta, igualamos a cero cada factor:

⇒  z+1 = 0            ∨    z - 2 = 0
     z = - 1                         z = 2

Como:
          
$e^{2x} = z \ \ ln(e^{2x}) = ln( z) \ \ 2x ln(e) = ln(z) \ \ 2x = ln(z)$

$x = \frac{ln(z)}{2}$


Caso 1:  si z = -1 , entonces:

$x = \frac{ln(-1)}{2}$

pero como ln(-1) , no existe , descartamos que z = -1

Cas 2: si z = 2 , entonces:

$x = \frac{ln(2)}{2}$


Rpta:

$\boxed{x = \frac{ln(2)}{2} = ln( \sqrt{2} )}$



Eso es todo! Saludos :)

Answer 2

Hola :) ,

Lo más conveniente aquí es realizar un cambio de varible ;

$e ^{2x} - 2e ^{-2x} - 1 =0 \\ \\ e^{2x} - \frac{2}{e^{2x}} = 1 \\ \\ u = e^{2x} \\ Remplazamos:\\ u - \frac{2}{u} = 1 / * u \\ u^{2} - u - 2 = 0 \\ (u-2)(u+1)=0 \\ u_{1} = 2 \ \ \ u_{2}=-1$

Teniendo estas soluciones reemplazamos ,

Primero observemos que la solución u2 da un número negativo :
Si reemplazamos en nuestro cambio :

$-1 = e^{2x}$ ,
pero la exponencial nunca es negativa , por lo tanto descartamos esta solución , además aplicando ln ;
ln(-1) = 2x , ln(-1) no está definido.

Ahora bien , la segunda solución si es posible :

$2 = e^{2x} / \ \ln() \\ ln 2 = 2x \\ \\ x = \frac{ln2}{2}$

Ese sería el valor de x ,
Saludos.