Question

∞                1
∑        _________
k=1       (4k-1)²-1

calcule la suma de la serie .

Answer 1

Primero veamos si la serie es convergente. La función dentro de la sumatoria es decresciente y monótona.

$\displaystyle \int_1^\infty\dfrac{dx}{(4x-1)^2-1}=\dfrac{\ln2}{8}$

Por lo tanto la serie es convergente

Calculemos la suma

$\dfrac{1}{(4k-1)^2-1}=\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{2}{2k-1}-\dfrac{1}{k}\right)\\ \\ \\ \displaystyle \sum\dfrac{1}{(4k-1)^2-1}=\dfrac{1}{4}\sum\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k}\right)\\ \\ \\ \sum\dfrac{1}{(4k-1)^2-1}=\dfrac{1}{4}\sum\left(\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}\right)\\ \\ \\ \text{v\'ease serie de Mercator del logaritmo}\\ \\ \sum\dfrac{1}{(4k-1)^2-1}=\dfrac{1}{4}\ln 2$