Question

∞       √(k) -√(k+1)
∑ ______________
k=1        √(k²+k)

si la siguiente serie converge señale la suma .

Answer 1

propiedad telescópica 

$\[ \sum_{k=1}^{\infty } \frac{ \sqrt{k} - \sqrt{k+1} }{ \sqrt{k ^{2} +k} } \] \[ \sum_{k=1}^{\infty } \frac{ \sqrt{k} - \sqrt{k+1} }{ \sqrt{k(k+1)} } \] \[ \sum_{k=1}^{\infty } \frac{ \sqrt{k} - \sqrt{k+1} }{ \sqrt{ k}. \sqrt{k+1} } \] \[ \sum_{k=1}^{\infty }( \frac{1}{ \sqrt{k+1} } - \frac{1}{ \sqrt{k} } ) \]$

la propiedad  telescópica : 

$\[ \sum_{k=1}^{u }( a _{n+1} - a_{n} )= a _{u+1} -a _{1} \]$

del problema :

$\[ \sum_{k=1}^{\infty }( \frac{1}{ \sqrt{k+1} } - \frac{1}{ \sqrt{k} } ) \] teniendo ya la formula de la telescopica ,solo aplicamos la formula :$

 
 $\frac{1}{ \sqrt{\infty+1} } - \frac{1}{ \sqrt{1} } \\ \\ 0-1=-1$

Saludos Isabela