Question

Como demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares? , .

Answer 1

1) Nombremos a los vértices de un rombo en cualquier sentido (horario o antihorario) A, B, C y D, entonces las diagonales son los segmentos AC y BD.

Recordemos que un rombo es aquel que tiene todos sus lados iguales y que son paralelos dos a dos.

2) Consecuencia de la definición es que los ángulos opuestos del rombo son iguales dos a dos. Entonces sea a = m<ABC = m<ADC y b = m<BCD = m<BAD. Por ende 2a + 2b = 360°, a+b=180°

3) Concéntrese en la diagonal AC. m<CAD = m<BCA, como el triángulo ABC es isósceles entonces m<BAC = m<BCA. Por otra parte

m<BAD = m<BAC + m<CAD
b = m<BAC + m<BCA
b = m<BAC + m<BAC
m<BAC = b/2 (= m<BCA)

Por lo tanto la diagonal AC es bisectríz de los ángulos opuestos correspondientes al rombo. De forma análoga BD es bisectríz.

4) Nombremos al cruce de diagonales con O
m<BAO + m<AOB + m<OBA = 180°
m<BAC + m<AOB + m<DBA = 180°
b/2 + m<AOB + a/2 = 180°
(a+b)/2 + m<AOB = 180°

por el inciso (2)
180°/2 + m<AOB = 180°
90°+ m<AOB = 180°
m<AOB = 90°                     lqqd