Question

determinar la convergencia o divergencia de la serie

∞               1
∑      ----------------
n=2     n . (ln n)²

Answer 1

Tenemos:

$a_{n}= \frac{1}{n( ln(n))^{2} }$

Y nos piden determinar si ∑$a_{n}$ desde n = 2 hasta infinito converge o diverge.

Pues bien, debes usar la prueba de la integral para una función f(x) equivalente a la serie. Esta función sería:

$f(x)= \frac{1}{x (ln(x))^{2} }$

Debido a que la función es positiva y decreciente en el intervalo de 2 a infinito. Se demuestra que la serie converge si y solo si:

$\int\limits^\infty_2 {f(x)} \, dx =c$

Es decir si esa integral impropia existe. Lo calculamos entonces:

$\int\limits^\infty_2 { \frac{1}{x (ln(x))^{2} } } \, dx = \lim_{t \to \infty} \int\limits^t_2 { \frac{1}{x (ln(x))^{2}} \, dx$

Para integrar nos preocupamos solo de la antiderivada (nos olvidamos de los límites) y aplicamos un cambio de variable:

$u=ln(x)$

$du= \frac{dx}{x}$

Por lo tanto la integral indefinida es:

$\int\ { \frac{1}{ u^{2} } } \, du=- u^{-1}$

Si regresamos a nuestras variables originales nos queda:

$- \frac{1}{ln(x)}$

Ahora hay que evaluar los límites, por lo que nos preocupamos por:

$\lim_{t \to \infty} [- \frac{1}{ln(x)}]$

Evaluado en el límite superior ''t'' y el límite inferior 2. Eso es igual a:

$- \lim_{t \to \infty} [ \frac{1}{ln(t)}- \frac{1}{ln(2)}]= \frac{1}{ln(2)}$

Como esa integral impropia existe, concluimos que la serie converge. Un saludo.