Question

respecto a la sucesión {an) n∈ N con

          n!
an= _____
         2^n

I) {an} es decreciente

II) {an} es acotada

III) {an} diverge

cuales son verdaderos

Answer 1

$a_{n}= \frac{n!}{ 2^{n} } \\ \\ a_{n} = \frac{1}{ \frac{2 ^{n}}{n!} }$

aplicando el criterio de la razón :

$\frac{1}{ \frac{ 2^{n} }{n!} }..(1) \\ \\ primero: \\ \\ \frac{2 ^{n} }{n!} = \frac{ \frac{2 ^{n+1} }{(n+1)!} }{ \frac{2 ^{n} }{n!} } \\ \\ \frac{2 ^{n} }{n!}= \frac{ \frac{ 2^{n}.2 }{n! . (n+1)} }{ \frac{ 2^{n} }{n!} } \\ \\ \frac{2 ^{n} }{n!}= \frac{2}{n+1} \\ \\ remplazando-en -(1) \\ \\ \frac{1}{ \frac{2}{n+1} } \\ \\ \frac{n+1}{2} \\ \\ a_{n}= \frac{n+1}{2} aplicando el limite cuando "n" tiene al infinito \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2}$

$a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2} \\ \\ a_n = \frac{\infty+1}{2} \\ \\ a_{n} =\infty$

por ende concluimos que la serie diverge

 
I) {an} es decreciente

se debe cumplir : 

$a_{n} \ \textgreater \ a_{n+1}$

dandole valores a n =1 y n=2

por lo cual sale :

$\frac{1}{2} \ \textgreater \ \frac{1}{2}$  (Falso) 

II) {an} es acotada  (Falso ) 

ya que es divergente 

III) {an} diverge  (Verdadera)

saludos Isabela