Question

dada la sucesión {an} n∈ N , con


         2^n + n^4
an =_________ ,
         3^n - n^7

determine el valor de convergencia de {an}

Answer 1

$a _{n}= \frac{ 2^{n}+n ^{4} }{3 ^{n}-n ^{7} }$

para  saber el valor de convergencia de la sucesión tenemos que  tomar el limite a toda la sucesión 

$\lim_{ _{n} \to \infty} a _{n}= \lim_{n \to \infty}( \frac{ 2^{n}+n ^{4} }{3 ^{n}-n ^{7} })$

pero antes de hacer cualquier operación , una vez tomado el limite  , tenemos que dividir a la sucesión entre el máximo denominar para así determinarlo mas fácil (método algebraico)

 ahora 

$\frac{ 2^{n}+n ^{4} }{3 ^{n}-n ^{7} }$

dividiendo entre el mayor osea  : $3 ^{n}$

por ende :
$\frac{ \frac{ 2^{n}+n ^{4}}{3 ^{n} } }{ \frac{3 ^{n}-n ^{7}}{3 ^{n} } } \\ \\ \\ \\ \frac{ \frac{ 2^{n} }{3 ^{n} } + \frac{ n^{4} }{ 3^{n} } }{1- \frac{n ^{7} }{3 ^{n} } } }$

remplazando

$\lim_{ _{n} \to \infty} a _{n}= \lim_{n \to \infty}( \frac{ 2^{n}+n ^{4} }{3 ^{n}-n ^{7} }) \\ \\ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty}\frac{ \frac{ 2^{n} }{3 ^{n} } + \frac{ n^{4} }{ 3^{n} } }{ 1 - \frac{n ^{7} }{3 ^{n} } } \\ \\ \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{0}{1} \\ \\ \lim_{n \to \infty} a_n =0$

converge hacia 0

saludos Isabela