Question

Un granjero tiene un corral en forma de hexágono regular, el cual está rodeado, el cual esta rodeado con malla de alambre, y va a transformarlo en un invernadero de tomates. Desea que el invernadero tenga forma circular y quiere cerrarlo con la misma malla del corral. Para saber la cantidad de semillas que debe comprar, el granjero tiene que conocer la proporción entre el área que tendrá el invernadero una vez que lo construya.
¿ cuál es esta proporción?

Answer 1

Un granjero tiene un corral en forma de hexágono regular, el cual está rodeado, el cual esta rodeado con malla de alambre, y va a transformarlo en un invernadero de tomates. Desea que el invernadero tenga forma circular y quiere cerrarlo con la misma malla del corral. Para saber la cantidad de semillas que debe comprar, el granjero tiene que conocer la proporción entre el área que tendrá el invernadero una vez que lo construya.
¿ Cuál es esta proporción?

Hexágono : Siendo a = lado

Perímetro del Hexágono = 6a 

Área del Hexágono = $\frac{3 \sqrt{3} }{2} a^{2}$


Circulo  

Perímetro : 2πr 

Área del Circulo : πr²

Como el perímetro de circulo y hexágono son idénticos , igualamos :


6a = 2πr 

r = $\frac{3a}{ \pi }$

Hallamos el área del circulo en función del nuevo radio 

Área del circulo =$\pi . ( \frac{3a}{ \pi }) ^{2}$

Área del circulo =$\frac{9 a^{2} }{ \pi }$

Hallar la relación de áreas:

$\frac{AH}{AC} = \frac{ \frac{3 \sqrt{3} }{2} a^{2} }{ \frac{9}{ \pi } a^{2} }$
$\frac{AH}{AC}= \frac{3 \sqrt{3} * \pi }{2 * 9}$
$\frac{AH}{AC}= \frac{3 \sqrt{3 }* \pi }{2 * 9}* \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }$
$\frac{AH}{AC}= \frac{ \pi }{2 \sqrt{3} }$

RESPUESTA : La proporción seria $\boxed{ \pi : 2 \sqrt{3}}}$