Question

Sean f, g y h funciones de "x" tales que
h(x) =f(x) • g(x) / 2f(x) +3g(x)
Y f(1)=3, g(1)=-3 y f'(1)=-2 y g'(1)=1
Determine h'(x)

Answer 1

Debes de usar algunas propiedades de la derivada:

$h(x)= \frac{f(x)g(x)}{2f(x)+3g(x)}$

$h'(x)= \frac{[f(x)g(x)]'[2f(x)+3g(x)]-[f(x)g(x)][2f(x)+3g(x)]'}{ [2f(x)+3g(x)]^{2} }$

$h'(x)= \frac{[f(x)g'(x)+g(x)f'(x)][2f(x)+3g(x)]-[f(x)g(x)][2'f(x)+3g'(x)]}{4 f^{2}(x)+12f(x)g(x)+9 g^{2}(x) }$

Resolviendo los productos y resolviendo términos en el numerador se obtiene:

$h'(x)= \frac{2f^{2}(x)g'(x)+3g^{2}(x)f'(x)}{4f^{2}(x)+12f(x)g(x)+9g^{2}(x)}$

Ahora, si te dan los valores evaluados en x = 1, supongo que el problema en el fondo pedía h'(1):

$h'(1)= \frac{2f^{2}(1)g'(1)+3g^{2}(1)f'(1)}{4 f^{2}(1)+12f(1)g(1)+9g^{2}(1)}$

$h'(1)= \frac{2 (3)^{2}(1)+3(-3)^{2}(-2)}{4(3)^{2}+12(3)(1)+9(-3)^{2} }$

$h'(1)= \frac{18-54}{36-36+27} = \frac{-36}{-27}= \frac{4}{3}$

Un saludo.