Question

Reunete con cuatro compañeros mas y solucionen el siguiente sistema de ecuaciones a partir de los cinco metodos trabajados en la unidad
1,5x-2y=1
2,5x-3y=6

Answer 1

Buenas noches,

La contestación a tu pregunta anteriormente la planteé y desarrollé a través de otro enlace, sin embargo te ratifico la respuesta. Generalmente existen 3 métodos para resolver un sistema de ecuaciones, en forma analítica, conocidos como: Reducción, Sustitución e Igualación, según los cuales planteamos la definición de cada variable que satisfaga simultáneamente ambas relaciones. Otra de las alternativas es emplear el método gráfico, donde se expresan las 2 ecuaciones que conforman el sistema, de tal modo que representen una función, es decir, existirá una variable independiente y otra dependiente, para el caso de las ecuaciones lineales ofrecidas se generan rectas.

En el método gráfico, si las rectas se interceptan, originan un punto común que representa la solución del sistema, dado que será aquella coordenada (x,y) donde se cumplen en simultáneo ambas ecuaciones. Así que basta con despejar de ambas expresiones la misma variable, generar el sistema coordenado y representar ambas rectas, para encontrar el cruce, se igualan y despeja la variable restante resultante, tras ello se sustituye su valor en cualquier expresión y se encuentra la restante coordenada. 

Estos pueden considerar los 4 métodos de mayor uso para plantear y resolver los sistemas de ecuaciones. A continuación te describo cómo se solucionan los 3 primeros mencionados:

(a) Método de Reducción. Consiste en cancelar una de las variables, de modo que únicamente en presencia de la restante, sea aplicable un simple despeje, para ello se toman ambas ecuaciones, se fija una de las variables a eliminar, se analizan los coeficientes y se busca que al sumar una con otra, tengan el mismo coeficiente pero con signo contrario, logrando así la anulación. Para el sistema dado, tomamos la variable Y para anular, teniendo que en la expresión (1) está acompañada de un coeficiente de -2, mientras que para en la expresión (2) se acompaña de -3, para lograr eliminarla, ambas deben tener igual valor pero signo contrario, de modo que podemos elegir multiplicar la expresión (1) por el coeficiente -3 de la expresión (2) y esta última por 2, pero positivo para lograr los signos opuestos, teniendo así como resultado:

$(-3)*( \frac{3}{2} *x - 2*y = 1) = \frac{-9}{2} *x + 6*y = -3$

$(2)*( \frac{5}{2} *x - 3*y = 6) = 5 *x -6*y = 12$

Sumando ambas expresiones se obtiene que se elimina la variable Y y únicamente mediante la variable X, se despeja la misma, definiendo así su valor que corresponde a:

$\frac{1}{2}*x = 9$  ∴  x = 18.

Con este valor se evalúa cualquier expresión del sistema de ecuaciones inicial y se define la solución para Y, teniendo que si se sustituye en la expresión (1), Y tienen un valor de:

$y = \frac{(\frac{3}{2}*(18)) - 1 }{2} = 13$.

Siendo entonces la solución del sistema: x = 18 e y = 13.

(b) Método de Sustitución. El objetivo de este procedimiento es despejar de una de las expresiones una variable y sustituirla luego en otra, generando así una ecuación lineal con una incógnita que únicamente deba despejarse. Para el ejemplo dado, nuevamente seleccionaremos la variable Y, que despejaremos de la expresión (1), teniendo que:

$y = \frac{\frac{3*x}{2} -1}{2}$ ... Expresión (3)

Expresión que ahora sustituimos en la expresión (2) del sistema inicial, teniendo que:

$\frac{5*x}{2} -3*( \frac{\frac{3*x}{2} -1}{2}) = 6$

De allí agrupamos los términos que correspondan y se despeja el valor de la variable X, el cual corresponde a: x = 18. Comprobando que satisface el valor hallado por el primer método, tras ello se sustituye dicho valor en la expresión (3) y se define el valor de la variable Y, que es: y = 13.

(c) Método de Igualación. Para esta metodología el procedimiento es despejar de ambas ecuaciones del sistema, la misma variable e igualar su valor. Nuevamente para ejemplificar y resolver, despejaremos la variable Y, tanto de la expresión (1) y de la expresión (2) obteniendo respectivamente:

$y = \frac{\frac{3*x}{2} -1}{2}$ ... Expresión (4)

$y = \frac{\frac{5*x}{2} -6}{3}$ ... Expresión (5)

Se igualan las 2 expresiones anteriores, teniendo un sistema donde se debe de despejar el valor de la variable X, teniendo que:

$\frac{\frac{3*x}{2} -1}{2} = \frac{\frac{5*x}{2} -6}{3}$ ... Expresión (6)

Así que finalmente se obtiene el valor de X, que es de: x = 18. Y sustituyendo dicho valor en cualquiera de las expresiones donde la variable Y se despejó, se obtiene su valor que corresponde a: y = 13.

Espero haberte ayudado.