Question

calcula la diferencia de los cubos de dos numeros enteros pares consecutivos que es 488 .

Answer 1

Debemos de saber lo siguiente:

$(x)^{3} \Longleftarrow \mathbb{\textbf{PRIMER} \ \mathbb{CUBO} \ PAR \mathbb{\textbf{ CONSECUTIVO}}}$

$(2x+2)^{3} \Longleftarrow \mathbb{\textbf{SEGUNDO} \ \mathbb{CUBO} \ PAR \mathbb{\textbf{ CONSECUTIVO}}}$

Resolvemos...........

$(2x)^{3}-(2x+2)^{3}= 488 \\ Calculamos el cubo: \\ \\ 8x^{3} -(2x+2)^{3}= 488 \\ Factorizamos el lado izquierdo y expandimos: \\ \\ 8x^{3} -((2x)^{3} +3(2x)^{2}\times 2+3(2x) \times2^{2} +2^{3} )-488= 0 \\ Movemos a 2 y aplicamos la regla del producto a 2x:$

$8x^{3} -((2x)^{3} +3(2(2^{2}x^{2}))+3(2x) \times2^{2} +2^{3} )-488= 0 \\ Combinamos exponentes: \\ \\ 8x^{3} -((2x)^{3} +3(2^{2+1}x^{2})+3(2x) \times2^{2} +2^{3} )-488= 0 \\ Sumamos a los exponentes: 2+1: \\ \\ 8x^{3} -((2x)^{3} +3(2^{3}x^{2})+3(2x) \times2^{2} +2^{3} )-488=0 \\ Calculamos la potencia:$

$8x^{3} -(8x^{3} +3(8x^{2})+3(2x) \times2^{2} +2^{3} )-488=0 \\ Lo multiplicamos a (8x^{2}) por 3: \\ \\ 8x^{3} -(8x^{3} +24x^{2}+3(2x) \times2^{2} +2^{3} )-488=0 \\ Movemos a 2^{2}:$

$8x^{3} -(8x^{3} +24x^{2}+3(2^{2} \times( 2x))+2^{3} )-488=0 \\ Combinamos los exponentes: \\ \\ 8x^{3} -(8x^{3} +24x^{2}+3( 2^{2+1} x )+2^{3} )-488= 0\\ Sumamos a los exponentes: 2+1: \\ \\ 8x^{3} -(8x^{3} +24x^{2}+3( 2^{3} x )+2^{3} )-488=0 \\ Calculamos la potencia: \\ \\ 8x^{3} -(8x^{3} +24x^{2}+3( 8x )+2^{3} )-488=0 \\ Multiplicamos a 3 por 8x:$

$8x^{3} -(8x^{3} +24x^{2}+24x+2^{3} )-488= \\ Calculamos la potencia: \\ \\ 8x^{3} -(8x^{3} +24x^{2}+24x+8 )-488= 0 \\ Aplicamos la Propiedad Distributiva: \\ \\ 8x^{3} +(-(8x^{3}) -(24x^{2})-(24x)+8 )-488= 0$

$8x^{3} +(-(8x^{3}) -(24x^{2})-(24x)+8 )-488= 0 \\ Simplificamos y resolvemos: \\ \\ 8x^{3} +(-8x^{3} -24x^{2}-24x+8 )-488= 0 \\ \\ 8x^{3} -8x^{3} -24x^{2}-24x+8 -488= 0 \\ \\ \not8x^{3} -\not8x^{3} -24x^{2}-24x+8-488= 0 \\ \\ -24x^{2}-24x+8-488= 0 \\ Dividimos entre 8:$

$3x^2 + 3x + 1 -61= 0 \\ \\ 3x^2 + 3x-60= 0 \\ Factorizamos usando a "3":$

$3( x^{2} +x-20)= 0 \\ Dividimos a 3 entre la parte derecha de 0: \\ \\ (x^{2} +x-20)= \dfrac{0}{3} \\ \\ (x^{2} +x-20)= 0 \\ Buscamos un numero que sumado de x, es decir "1" y que su producto \\ sea de -20: \\ \\ Esos n\'umeros son: \textbf{-4; 5.} \\ \\ (x-4)(x+5)= 0 \\ Despejamos la parte izquierda de la ecuaci\'on y pasamos a dividir la \\ parte derecha: \\ \\ (x-4)= \dfrac{0}{(x+5)} \\ \\ x-4= 0 \\ \\ \boxed{\boxed{\textbf{x= 4}}} \checkmark$

$(x-4)(x+5)= 0 \\ Despejamos la parte derecha de la ecuaci\'on y pasamos a dividir la \\ parte izquierda: \\ \\ (x+5)= \dfrac{0}{(x-4)} \\ \\ x+5= 0 \\ \\ \boxed{\boxed{\textbf{x= -5}}} \checkmark$

Los valores de "x" son: 4; -5.

Por lo tanto, los números son 8 y 10, o -8 y -10.

Ya que encontramos sus valores así:

${ Ya que se tratan de n\'umeros pares, los multiplicamos por 2, o \\ podemos sustituir los datos del primer numero consecutivo, para hallar \\ los pares consecutivos: \\ \\ 2x \Longleftarrow Primer numero par consecutivo \\ \\ El valor de "x" en este caso sera "4" \\ \\ 2(4)= \boxed{\boxed{\textbf{8}}} \checkmark \\ \\ El valor de "x" en este caso sera "5" \\ \\ 2(5)= \boxed{\boxed{\textbf{10}}} \checkmark$

Los números pares consecutivos son: 8; 10, o -8; -10.

Comprobaremos sustituyendo los datos:

$(2x)^{3}-(2x+2)^{3}= 488 \\ \\ (10)^{3}-(8)^{3}= 488 \\ \\ 1000-512= 488 \\ \\ \boxed{\boxed{\textbf{488= 488}}}$

$(2x)^{3}-(2x+2)^{3}= 488 \\ \\ (-8)^{3}-(-10)^{3}= 488 \\ \\ -512+1000= 488 \\ \\ \boxed{\boxed{\textbf{488= 488}}}$

Saludos y Suerte!!!!!!!!!!