Question

Ejercicio sobre división de polinomios, teorema del resto, Ruffini.
No sé cómo hallarlo matemáticamente, dice así:
"Luego de hallar un polinomio P(x) de primer grado que al dividirlo por x+1 da resto 1, al dividirlo por x-2 da de resto 7, determina el valor de P(0)."
Según entiendo por el teorema del resto tengo que: P(-1)=1, y P(2)=7
Yo deduje que la ecuación que cumple esas condiciones es P(x)=2x+3, pero sólo analizando la lógica.
Si alguien me puede ayudar en cómo hallar dicha ecuación de manera matemática estaría muy agradecido. Desde ya muchas gracias.

Answer 1

Sabemos que:

Dividendo = Cociente*divisor + Resto

Entonces:

P(x) = (x+1)k + 1      ............. (i)

P(x) = (x-2)h + 7      .............. (ii)

Teniendo en cuenta que:

Grado del cociente = Grado del dividendo - Grado del divisor:

Entonces:

* Grado de k = Grado de P(x) - Grado de(x+1)
 
   Grado de k = 1-1

   Grado de k = 0  → Se deduce que: k es una constante (k∈IR)

* Grado de h = Grado de P(x) - Grado de (x-2)

   Grado de h = 1 - 1

   Grado de h = 0    → Se deduce que: h es una constante (h ∈ IR )


• Para x = -1:

En (i) :

P(-1) = (-1 + 1)k + 1  →  P(-1) = 1

En (ii):

P(-1) = (-1-2)h + 7   , pero: P(-1) = 1 , asi que:

  1 = -3h + 7    →  h = 2


Luego, como h = 2 entonces:

 P(x) = (x-2)h + 7

 P(x) = (x - 2)(2) + 7

 P(x) = 2x - 4+ 7

  P(x) = 2x +3

Por último:

P(0) = 2(0) + 3

$\boxed{P(0) = 3}$  ← Respuesta

Eso es todo! Saludos :)        Atte: Jeyson(Jmg) 

Answer 2

Me costo....pero aqui esta la ayuda solicitada....