Question

Encuentra el valor de la integral de la siguiente funcion en el intervalo [1, e] : f(t) = $\frac{log(t)}{t}$



....La respuesta es
$\frac{1}{2(e-1)}$

me explican porfa

Answer 1

Hola.

Primero debes cambiar de base logarítmica. Recuerda que para ir de una base ''a'' a una ''c'' debes hacer:

$log_{a}b= \frac{ log_{c}b }{ log_{c}a }$

Tomando en cuenta que un logaritmo natural no es otra cosa que un logaritmo en base ''e'', donde e = 2.718281828.... usamos:

$log_{10}(t)= \frac{ log_{e}(t) }{ log_{e}(10) } = \frac{ln(t)}{ln(10)}$

Por lo tanto:

$\int\limits^e_1 { \frac{log(t)}{t} } \, dt = \frac{1}{ln(10)} \int\limits^e_1 { \frac{ln(t)}{t} } \, dt$

De momento solo nos centramos en la antiderivada (integral indefinida) y luego evaluamos los límites de la integral definida.

Aplicamos un cambio de variable:

$u=ln(t)$

$du= \frac{dt}{t}$

Entonces la antiderivada nos queda:

$\frac{1}{ln(10)} \int { \frac{ln(t)}{t} } \, dt= \frac{1}{ln(10)} \int {u} \, du= (\frac{1}{ln(10)})( \frac{ u^{2} }{2}} )= \frac{ u^{2} }{2ln(10)}$

Si regresamos a la variable original ''t'' llegamos a:

$\frac{ (ln(t))^{2} }{2ln(10)}$

Y para encontrar el valor de la integral definida entre los límites [1, e], usamos el teorema fundamental del cálculo:

$\int\limits^a_b {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)$

Donde ''F(b)'' y ''F(a)'' son las antiderivadas de f(x) evaluadas en el límite superior e inferior respectivamente:

$\int\limits^e_1 { \frac{log(t)}{t} } \, dt = \frac{1}{2ln(10)}[(ln(e))^{2}-((ln(1)^{2})]$

El logaritmo natural de ''e'' es 1 y el logaritmo natural de 1 es 0. Reemplazando esto:

$\frac{1}{2ln(10)}( 1^{2}- 0^{2} )= \frac{1}{2ln(10)}$

Concluimos que:

$\int\limits^e_1 { \frac{ln(t)}{t} } \, dt= \frac{1}{2ln(10)}$

Un saludo.