Utilice el hecho de que la integral de línea es independiente de trayectoria en todo el plano xyxy para calcular el valor de la integral ∫(1,−1)(0,0)(2xey) dx+(x2ey) dy .
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Respuesta dada por:
3
Como es independiente de la trayectoria, entonces usamos la trayectoria más sencilla: un segmento cuyo origen sea el punto (1,-1) y el extremo sea (0,0). su ecuación vectorial es como sigue
(x,y) = (0,0) + [(0,0)-(1,-1)]t, donde 0 ≤ t ≤ 1
(x,y) = (-1,1)t
En forma paramétrica:
x = -t
y= t
La integral de línea
![\displaystyle
\int_\gamma2xe^y~dx+x^2e^y~dy=\int_{0}^{1}2(-t)e^{t}~d(-t)+(-t)^2e^t~dt\\ \\ \\
\int_\gamma2xe^y~dx+x^2e^y~dy=\int_{0}^{1}2te^{t}~dt+t^2e^t~dt\\ \\ \\
\int_\gamma2xe^y~dx+x^2e^y~dy=\int_{0}^{1}(t^2+2t)e^t~dt\\ \\ \\
\int_\gamma2xe^y~dx+x^2e^y~dy=\left.t^2e^t\right|_{0}^1\\ \\ \\
\boxed{\int_\gamma2xe^y~dx+x^2e^y~dy=e} \displaystyle
\int_\gamma2xe^y~dx+x^2e^y~dy=\int_{0}^{1}2(-t)e^{t}~d(-t)+(-t)^2e^t~dt\\ \\ \\
\int_\gamma2xe^y~dx+x^2e^y~dy=\int_{0}^{1}2te^{t}~dt+t^2e^t~dt\\ \\ \\
\int_\gamma2xe^y~dx+x^2e^y~dy=\int_{0}^{1}(t^2+2t)e^t~dt\\ \\ \\
\int_\gamma2xe^y~dx+x^2e^y~dy=\left.t^2e^t\right|_{0}^1\\ \\ \\
\boxed{\int_\gamma2xe^y~dx+x^2e^y~dy=e}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0A%5Cint_%5Cgamma2xe%5Ey%7Edx%2Bx%5E2e%5Ey%7Edy%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D2%28-t%29e%5E%7Bt%7D%7Ed%28-t%29%2B%28-t%29%5E2e%5Et%7Edt%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cint_%5Cgamma2xe%5Ey%7Edx%2Bx%5E2e%5Ey%7Edy%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D2te%5E%7Bt%7D%7Edt%2Bt%5E2e%5Et%7Edt%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cint_%5Cgamma2xe%5Ey%7Edx%2Bx%5E2e%5Ey%7Edy%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%28t%5E2%2B2t%29e%5Et%7Edt%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cint_%5Cgamma2xe%5Ey%7Edx%2Bx%5E2e%5Ey%7Edy%3D%5Cleft.t%5E2e%5Et%5Cright%7C_%7B0%7D%5E1%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cboxed%7B%5Cint_%5Cgamma2xe%5Ey%7Edx%2Bx%5E2e%5Ey%7Edy%3De%7D)
(x,y) = (0,0) + [(0,0)-(1,-1)]t, donde 0 ≤ t ≤ 1
(x,y) = (-1,1)t
En forma paramétrica:
x = -t
y= t
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