Question

4. Una empresa fabrica dos clases de tornillos, A y B. En la producción diaria, el número total de tornillos de ambas clases no supera las 3000 unidades. Además, los tornillos de la clase B siempre alcanzan las 1000 unidades, pero su número es inferior al número de tornillos de la clase A más 1000 unidades.
Si los tornillos de la clase A valen 5 centavos de dólar cada uno y los de la clase B valen 4 centavos de dólar la unidad, calcula el costo máximo y el costo mínimo de la producción diaria, y di cuántos tornillos de cada clase deben fabricarse para alcanzar este máximo y este mínimo.

Answer 1

Hola!

Para hallar la resolución a este ejercicio primero debemos plantear el sistema de inecuaciones/restricciones correspondiente y la función objetivo.

X + Y ≤ 3000
Y ≤ 1000
Y ≤ X + 1000

Donde X = Tornillos tipo A  e  Y = Tornillos tipo B

Por su parte, la función objetivo será F(x,y) = 0,05X + 0,04Y

Para ubicar las restricciones en el plano cartesiano debemos hallar las coordenadas de los vértices...

·X + Y ≤ 3000
Decimos que X + Y = 3000

Es decir que en este caso, si X = 0  → Y = 3000 y si Y = 0  → X = 3000

Esto da origen a los puntos p(0, 3000) y q(3000, 0) ubicados en el plano cartesiano según la imagen 1.

·Y ≤ 1000
Decimos que Y = 1000 y representamos su recta como en la Imagen 2 (Punto r(0, 1000))

· Y ≤ X + 1000
Decimos que Y = X + 1000 y por tanto Y - X = 1000

Como en la primera ecuación comprobaremos qué pasa con X y con Y cuando la otra variable es cero.

Entonces... Si X = 0  → Y = 1000   y   si Y = 0  → X = -1000, lo que da origen a los puntos s(0, 1000) y t(-1000, 0) representados en la tercera imagen.

Para saber hacia que lado tienden nuestras gráfica ubicamos el punto o(0, 0) y probamos nuestros valores en cada inecuación: 
X + Y ≤ 3000
0 + 0 ≤ 3000 
0 ≤ 3000 es Verdadero

Y ≤ 1000
0 ≤ 1000 también es Verdadero

Y ≤ X + 1000
0 ≤ 0 + 1000
Como 0 ≤ 1000 también es Verdadero indica que la gráfica tenderá hacia el punto O(0, 0) y el área solución será la señalada con color verde en la imagen 4.

El siguiente paso es hallar las coordenadas o vértices que estarán en la solución. 

Observando nuestra gráfica en la imagen 5, podemos identificar que estas coordenadas son el punto rs(0, 1000), el punto t(-1000, 0), el punto q(3000, 0) y un nuevo punto que llamaremos "u" cuyas coordenadas son fáciles de obtener u(2000, 1000).

Ahora simplemente tomaremos los vértices hallados en el punto anterior y reemplazaremos sus valores en la función objetivo (Costo) a fin de hallar los valores máximos y mínimos de la producción de ambas clases de tornillos.

F(x,y) = 0,05X + 0,04Y

rs(0, 1000)  →  F(0, 1000) = 0,05(0) + 0,04(1000)                         
                         F(0, 1000) = 40$

t(-1000, 0)  →  F(-1000, 0) = 0,05(-1000) + 0,04(0)
                        F(-1000, 0) = - 50$     Descartaremos este resultado negativo

q(3000, 0)  →  F(3000, 0) = 0,05(3000) + 0,04(0)
                        F(3000, 0) = 150$

u(2000, 1000)  →  F(2000, 1000) = 0,05(2000) + 0,04(1000)
                              F(2000, 1000) = 140$

   ∴ Respuesta: De acuerdo a los procedimientos planteados con anterioridad, el costo máximo de la producción diaria es de 150$ y el costo mínimo es de 40$. Además para una producción que arroje el costo máximo solo se deben producir 3000 tornillos del tipo A, y para una producción de costo mínimo solo se deben producir 1000 tornillos del tipo B

Saludos!