Question

Encuentre dos numeros positivos cuyo producto sea 100 suma sea minima !

Answer 1

Es un problema de optimización. Encontremos la función objetivo mediante las relaciones. Observemos los datos:

Dos números positivos (desconocidos) cuyo producto sea 100.
Llamaré "x" al primer número e "y" al segundo:
x·y=100
Despejaré "y" y la obtendré en términos de "x" para tener sólo una variable con la que trabajar:
y=100/x
Como nos piden que la suma de los dos números debe ser mínima, llamaré a la función f(x), S(x) (Suma de "x"):

S(x)=x+100/x

Esa es la función objetivo. Ahora vamos a derivarla:

S'(x)=x'+(100/(x))'
S'(x)=1+(100'(x)-100(x)')/x²
S'(x)=1+(0(x)-100)/x²
Vamos a eliminar ese "0·(x)":
S'(x)=1-100/x²
Ya tenemos la primera derivada de la función objetivo. Ahora la igualaremos a cero y resolveremos la ecuación:

1-100/x²=0
100/x²=1
Multiplicamos por el denominador "x²" a cada miembro de la ecuación:

x²(100/x²)=1(x²)
Se nos va el "x²" del denominador de la expresión "100/x²" porque se está multiplicando por él mismo:

100=x²

x=√100

Realizamos "√100" y nos da 10:

x=10

Antes de obtener el valor de "y" realizamos la segunda derivada de la función objetivo, que es hacer la derivada de la primera derivada y nos debe dar un número mayor que cero S''(x)>0:

S''(x)=1'-[100'(x²)-100(x²)']/(x²)²
S''(x)=0-[0(x²)-2·100x]/x⁴
Eliminamos los términos que multipliquen por cero y los que sean cero:

S''(x)=-(-200x)/x⁴

Multiplicamos los signos negativos y simplificamos las "x" del numerador y denominador:

S''(x)=200/x³
Introducimos el valor que obtuvimos de "x" al igualar la primera derivada a cero:

S''(10)=200/(10)³
S''(10)=200/1000
S''(10)=2/10
S''(10)=0.2

0.2>0 Es un máximo, así que el valor que nos arrojó la primera derivada es un mínimo.

Entonces x=10. Encontremos el valor de "y":

y=100/x
y=100/10
y=10

x=10 e y=10. Rta.

Answer 2

Explicación paso a paso:

en la caja Busca cinco números cuya suma sea 1000