Question

Como puedo resolver el 5.2 por favor con desarrollo urgente

Answer 1

$1+\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0\\ \\ 1+\cos x+2\cos^2x-1+4\cos^3x-3\cos x=0\\ \\ 4\cos^3x+2\cos^2x-2\cos x=0\\ \\ \cos x(2\cos^2x+\cos x-1)=0\\ \\ \cos x(2\cos x-1)(\cos x+1)=0\\ \\ \cos x =0\vee 2\cos x-1=0\vee \cos x+1=0\\ \\ x=\dfrac{\pi}{2}\vee x=\dfrac{\pi}{3}\vee x=\pi$

Answer 2

${ Tenemos que mover todos los t\'erminos a la parte derecha que no \\ contengan cos(x): \\ \\ 1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)=0 \\ \\ Tenemos que mover a \textbf{"1"}, \textbf{"cos(2x)"} y a \textbf{"cos(3x)"} a la parte , \\ derecha cambi\'andole su signo ya que no contiene la variable que \\queremos resolver: \\ \\ cos(x)= -1-cos(2x)-cos(3x)$

Ahora tendremos que mover a todos los términos que no contengan "cos(2x)" a la parte derecha:

${ Tenemos que mover a \textbf{"1"}, \textbf{"cos(x)"} y a \textbf{"cos(3x)"} a la parte , \\ derecha cambi\'andole su signo ya que no contiene la variable que \\queremos resolver: \\ \\ cos(2x)= -1-cos(x)-cos(3x) \\ \\ Ahora tendremos que mover a la parte derecha a todos los t\'erminos \\ que no contengan \textbf{"cos(3x)"}:$

$Tenemos que mover a \textbf{"1"}, \textbf{"cos(x)"} y a \textbf{"cos(2x)"} a la parte , \\ derecha cambi\'andole su signo ya que no contiene la variable que \\queremos resolver: \\ \\ cos(3x)= -1-cos(x)-cos(2x) \\ \\ Ya que \textbf{"cos(x)"} esta en la parte derecha, tendremos que cambiar de \\ lugar a los t\'erminos, para que \textbf{"cos(x)"} este en la izquierda: \\ \\ -1-cos(x)-cos(2x)= cos(3x)$

${ Tenemos que mover todos los t\'erminos a la parte derecha que no \\ contengan cos(x): \\ \\ -cos(x)= 1+cos(2x)+cos(3x) \\ Tenemos que convertir a \textbf{"-cos(x)"} en positivo, por lo tanto \\ multiplicamos a todos los t\'erminos por \textbf{"-1"} \\ \\ cos(x)= -1-cos(2x)-cos(3x) \\ \\ Movemos a todos los t\'erminos que contienen \textbf{"x"} al lado izquierdo: \\ \\ cos(x)+cos(2x)+cos(3x)= -1 \\ \\ 4 cos^{3} (x) -2 cos(x)+cos^{2} (x)-sin^{2} (x)= -1$

${ Reemplazamos a sin^{2} (x) con 1-cos^{2} (x): \\ \\ 4 cos^{3} (x) -2 cos(x)+cos^{2} (x)-(1-cos^{2} (x))= -1 \\ \\ Simplificamos a (1-cos^{2} (x)): \\ \\ 4 cos^{3} (x) -2 cos(x)+cos^{2} (x)-1-cos^{2} (x)= -1 \\ \\ Sumamos a cos^{2} (x)+cos^{2} (x): \\ \\ 4 cos^{3} (x) -2 cos(x)+2cos^{2} (x)-\not1}+\not1 = 0 \\ \\ 4 cos^{3} (x) -2 cos(x)+2cos^{2} (x) = 0$

${ Factorizamos a los t\'erminos usando a 2 cos(x): \\ \\ 2 cos(x) (2 cos^{2} (x)-1)(cos(x)+1)= 0 \\ \\ Factorizamos agrupando: \\ \\ 2 cos (x)(2 cos^{2} (x) -1 cos (x)+2 cos (x)-1)= 0 \\ \\ 2 cos (x) (cos (x) (2 cos (x)-1)+1(2 cos (x) -1))= 0 \\ \\ Eliminamos los par\'entesis innecesarios: \\ \\ 2 cos (x) (cos (x) ((2 cos (x)-1)+1(2 cos (x) -1))= 0\\ \\ Si sabemos que cada factor es igual a 0, hacemos lo siguiente: \\ \\ cos(x)= 0 \\ 2 cos (x)-1= 0 \\ cos (x) +1= 0$

$cos (x) = 0 \\ \\ x= arcos (0) \\ \\ E l valor exacto de arcos es: \dfrac{ \pi }{2}, por lo tanto: \\ \\ x= }\dfrac{ \pi }{\textbf{2}}}} \\ \\ \\ 2 cos (x)-1= 0 \\ \\ Restamos el angulo de referencia de 2\pi: \\ \\ x= 2\pi - \dfrac{ \pi }{2} \\ \\x= }\dfrac{ \textbf{3}\pi }{\textbf{2}}}} \\ \\ Encontramos el periodo: \\ \\ Se puede calcular usando a \dfrac{2 \pi }{b} \\ \\ Sustituimos a b con 1: \\ \\ \dfrac{2 \pi }{1}= \\ \\ 2} \pi }}$

${ El periodo de la funci\'on cos (x) es 2\pi, por lo tanto: \\ \\ x= \dfrac{ \pi }{2} \pm2 \pi n; \dfrac{ 3\pi }{2} \pm2 \pi n \\ \\ \\ x= \dfrac{ \pi }{2} \pm2 \pi n \\ \\ Igualamos el factor a 0 y resolvemos: \\ \\ 2 cos (x)-1= 0 \\ \\ 2 cos (x) = 1 \\ \\ cos (x)= \dfrac{1}{2} \\ \\ cos (x)= arcos \left( \dfrac{1}{2} \right) \\ \\ x= \dfrac{ \pi }{3} \\ \\ Lo restamos menos el angulo de referencia 2 \pi : \\ \\ x= 2 \pi - \dfrac{ \pi }{3} \\ \\ x= \dfrac{5 \pi }{3}}}}$

El periodo es de 2π.

$x= \dfrac{ \pi }{3 } \pm2 \pi n; \dfrac{5 \pi }{3}}}} \pm 2 \pi n \\ \\ Igualamos el siguiente factor a 0: \\ \\ cos (x) +1= 0 \\ \\ cos (x)= -1 \\ \\ cos (x)= arcos (-1) \\ \\ x= \pi \\ \\ Restamos el angulo de referencia (2\pi ) menos \pi : \\ \\ x= 2 \pi - \pi \\ \\ x= \pi \\ \\ Su periodo es de 2 \pi \\ \\ x= \pi \pm2 \pi n; \pi \pm2 \pi n \\ \\ x= \pi \pm2 \pi n \\ \\ La soluci\'on final es:$

$x= \dfrac{ \pi }{\textbf{2}} \pm \pi n; \dfrac{ \pi }{\textbf{3}} \pm 2\pi n; \dfrac{ \textbf{5}\pi }{\textbf{3}} \pm \textbf{2}\pi n; \pi \pm\textbf{2} \pi n}}}}$

Saludos y Suerte!!!!!!