Question

Mruv con rozamiento de un cuerpo con masa con ecuaciones diferenciales lanzado al aire vertical !

Answer 1

Hola.

Planteas la segunda ley de Newton en el eje vertical:

∑$F=ma$

Como mi referencia será que todo lo que apunte hacia arriba será positivo puedo expresar:

$F_{R}-w=-ma$

Donde ''w'' es el peso del cuerpo y Fr la fuerza de rozamiento con el aire que a su vez es proporcional a la velocidad de caída:

$Kv-mg=-ma$

Donde ''K'' es la constante de proporcionalidad. Si expreso la aceleración como la derivada de la velocidad respecto al tiempo obtengo una ecuación diferencial:

$Kv-mg=-m \frac{dv}{dt}$

$\frac{dv}{dt}+ \frac{k}{m}v=g$

Si se resuelve esa ecuación diferencial en favor de la velocidad se obtiene:

$v= \frac{mg}{k} +C e^{( \frac{k}{m})t }$

Donde ''C'' es la constante de integración. Esta es la forma general de la velocidad, y luego ''k'' (la constante de proporcionalidad en el rozamiento) generalmente es dato del problema y en caso de que no te la den deben darte dos condiciones para poder averiguarla junto con C que es otro valor que desconoces.

La masa sería otro dato del problema y g es la aceleración de la gravedad.

Un saludo.