determina el valor que debe tener k para que la condicion dada se cumpla : a. x^2-kx+27=0, una raiz es el triple de la otra. b. 4x^2-3x+k=0, tiene una raiz igual a 3. c. 2kx^2-4kx+5k=3x^2+x-8, el producto de sus raices sea igual al doble de su suma. d. x^2-3(x-k)-2=0,una raiz sea igual al doble de la otra menos 3.
Respuestas
Respuesta dada por:
12
Solución (a)
En la expresión una raíz es el triple de la otra: a = 3b
![x^{2} -kx+27=0 \\ x= \frac{k+- \sqrt{ k^{2}-108 } }{2*1} \\ a= \frac{k+ \sqrt{ k^{2} -108} }{2}...y...b= \frac{k- \sqrt{ k^{2}-108 } }{2} \\ como: \\ a=3b \\ \frac{k+ \sqrt{ k^{2} -108} }{2}}=3( \frac{k- \sqrt{ k^{2}-108 } }{2}) \\ 2k=4 \sqrt{ k^{2}-108 } \\ elevamos...al...cuadrado \\ 4 k^{2}=16( k^{2}-108) \\ 4 k^{2}=16 k^{2}-1728 \\ 12 k^{2}=1728 \\ k^{2}=144 \\ k=12
x^{2} -kx+27=0 \\ x= \frac{k+- \sqrt{ k^{2}-108 } }{2*1} \\ a= \frac{k+ \sqrt{ k^{2} -108} }{2}...y...b= \frac{k- \sqrt{ k^{2}-108 } }{2} \\ como: \\ a=3b \\ \frac{k+ \sqrt{ k^{2} -108} }{2}}=3( \frac{k- \sqrt{ k^{2}-108 } }{2}) \\ 2k=4 \sqrt{ k^{2}-108 } \\ elevamos...al...cuadrado \\ 4 k^{2}=16( k^{2}-108) \\ 4 k^{2}=16 k^{2}-1728 \\ 12 k^{2}=1728 \\ k^{2}=144 \\ k=12](https://tex.z-dn.net/?f=+x%5E%7B2%7D+-kx%2B27%3D0+%5C%5C+x%3D++%5Cfrac%7Bk%2B-+%5Csqrt%7B+k%5E%7B2%7D-108+%7D+%7D%7B2%2A1%7D+%5C%5C+a%3D+%5Cfrac%7Bk%2B+%5Csqrt%7B+k%5E%7B2%7D+-108%7D+%7D%7B2%7D...y...b%3D+%5Cfrac%7Bk-+%5Csqrt%7B+k%5E%7B2%7D-108+%7D+%7D%7B2%7D+++%5C%5C+como%3A+%5C%5C+a%3D3b+%5C%5C++%5Cfrac%7Bk%2B+%5Csqrt%7B+k%5E%7B2%7D+-108%7D+%7D%7B2%7D%7D%3D3%28+%5Cfrac%7Bk-+%5Csqrt%7B+k%5E%7B2%7D-108+%7D+%7D%7B2%7D%29+%5C%5C+2k%3D4+%5Csqrt%7B+k%5E%7B2%7D-108+%7D+%5C%5C+elevamos...al...cuadrado+%5C%5C+4+k%5E%7B2%7D%3D16%28+k%5E%7B2%7D-108%29+%5C%5C+4+k%5E%7B2%7D%3D16+k%5E%7B2%7D-1728+%5C%5C+12+k%5E%7B2%7D%3D1728+%5C%5C++k%5E%7B2%7D%3D144+%5C%5C+k%3D12+++++++++++%0A)
Solución (b)
En la expresión tiene una raíz igual a 3
![4 x^{2} -3x+k=0 \\ x= \frac{3+- \sqrt{9-16k} }{8}=3 \\ entonces \\ 9-16 k=0 \\ k= \frac{9}{16} 4 x^{2} -3x+k=0 \\ x= \frac{3+- \sqrt{9-16k} }{8}=3 \\ entonces \\ 9-16 k=0 \\ k= \frac{9}{16}](https://tex.z-dn.net/?f=4+x%5E%7B2%7D+-3x%2Bk%3D0+%5C%5C+x%3D+%5Cfrac%7B3%2B-+%5Csqrt%7B9-16k%7D+%7D%7B8%7D%3D3+%5C%5C+entonces++%5C%5C+9-16+k%3D0+%5C%5C++k%3D+%5Cfrac%7B9%7D%7B16%7D+++)
Solución (c)
El producto de sus raíces es igual al doble de su suma: a*b = 2(a + b)
![2kx^2-4kx+5k=3x^2+x-8 \\ (2k-3) x^{2} -(4k+1)x+(5k+8)=0 \\ x= \frac{(4k+1)+- \sqrt{ (4k+1)^{2}-4(4k+1)(5k+8) } }{2(4k+1)} \\ x= \frac{(4k+1)+- \sqrt{16 k^{2}+8k+1-80 k^{2}-148k-32 } }{2(4k+1)} \\ x= \frac{(4k+1)+- \sqrt{-64 k^{2}-140k-31 } }{2(4k+1)} \\entonces-aplicamos-1ra-regla: \\
\frac{(4k+1)+ \sqrt{-64 k^{2}-140k-31 } }{2(4k+1)}*\frac{(4k+1)- \sqrt{-64 k^{2}-140k-31 } }{2(4k+1)} \\ \frac{ (4k+1)^{2}-(-64 k^{2}-140k-31) }{4 (4k+1)^{2} } \\ entonces-aplicamos-2da-regla 2kx^2-4kx+5k=3x^2+x-8 \\ (2k-3) x^{2} -(4k+1)x+(5k+8)=0 \\ x= \frac{(4k+1)+- \sqrt{ (4k+1)^{2}-4(4k+1)(5k+8) } }{2(4k+1)} \\ x= \frac{(4k+1)+- \sqrt{16 k^{2}+8k+1-80 k^{2}-148k-32 } }{2(4k+1)} \\ x= \frac{(4k+1)+- \sqrt{-64 k^{2}-140k-31 } }{2(4k+1)} \\entonces-aplicamos-1ra-regla: \\
\frac{(4k+1)+ \sqrt{-64 k^{2}-140k-31 } }{2(4k+1)}*\frac{(4k+1)- \sqrt{-64 k^{2}-140k-31 } }{2(4k+1)} \\ \frac{ (4k+1)^{2}-(-64 k^{2}-140k-31) }{4 (4k+1)^{2} } \\ entonces-aplicamos-2da-regla](https://tex.z-dn.net/?f=2kx%5E2-4kx%2B5k%3D3x%5E2%2Bx-8+%5C%5C+%282k-3%29+x%5E%7B2%7D+-%284k%2B1%29x%2B%285k%2B8%29%3D0+%5C%5C+x%3D+%5Cfrac%7B%284k%2B1%29%2B-+%5Csqrt%7B+%284k%2B1%29%5E%7B2%7D-4%284k%2B1%29%285k%2B8%29+%7D+%7D%7B2%284k%2B1%29%7D+%5C%5C+x%3D+%5Cfrac%7B%284k%2B1%29%2B-+%5Csqrt%7B16+k%5E%7B2%7D%2B8k%2B1-80+k%5E%7B2%7D-148k-32+%7D+%7D%7B2%284k%2B1%29%7D+%5C%5C+x%3D+%5Cfrac%7B%284k%2B1%29%2B-+%5Csqrt%7B-64+k%5E%7B2%7D-140k-31+%7D+%7D%7B2%284k%2B1%29%7D++++%5C%5Centonces-aplicamos-1ra-regla%3A+%5C%5C+%0A%5Cfrac%7B%284k%2B1%29%2B+%5Csqrt%7B-64+k%5E%7B2%7D-140k-31+%7D+%7D%7B2%284k%2B1%29%7D%2A%5Cfrac%7B%284k%2B1%29-+%5Csqrt%7B-64+k%5E%7B2%7D-140k-31+%7D+%7D%7B2%284k%2B1%29%7D+%5C%5C++%5Cfrac%7B+%284k%2B1%29%5E%7B2%7D-%28-64+k%5E%7B2%7D-140k-31%29+%7D%7B4+%284k%2B1%29%5E%7B2%7D+%7D++%5C%5C+entonces-aplicamos-2da-regla+)
![2(\frac{(4k+1)+ \sqrt{-64 k^{2}-140k-31 } }{2(4k+1)}+\frac{(4k+1)+ \sqrt{-64 k^{2}-140k-31 } }{2(4k+1)}) \\ 2( \frac{2(4k+1)}{2(4k+1)})=2 2(\frac{(4k+1)+ \sqrt{-64 k^{2}-140k-31 } }{2(4k+1)}+\frac{(4k+1)+ \sqrt{-64 k^{2}-140k-31 } }{2(4k+1)}) \\ 2( \frac{2(4k+1)}{2(4k+1)})=2](https://tex.z-dn.net/?f=2%28%5Cfrac%7B%284k%2B1%29%2B+%5Csqrt%7B-64+k%5E%7B2%7D-140k-31+%7D+%7D%7B2%284k%2B1%29%7D%2B%5Cfrac%7B%284k%2B1%29%2B+%5Csqrt%7B-64+k%5E%7B2%7D-140k-31+%7D+%7D%7B2%284k%2B1%29%7D%29+%5C%5C+2%28+%5Cfrac%7B2%284k%2B1%29%7D%7B2%284k%2B1%29%7D%29%3D2+)
Igualas las dos expresiones y obtienes el valor de "k"...
Solución # 4
Una raíz es el doble de la otra menos tres: a = 2b - 3
![x^2-3(x-k)-2=0 \\ x^{2} -3x+3k-2=0 \\ x= \frac{3+- \sqrt{9-4(3k-2)} }{2} = \frac{3+- \sqrt{1-12k} }{2} \\ \frac{3+ \sqrt{1-12k} }{2}=2(\frac{3- \sqrt{1-12k} }{2}-3) \\ \frac{3+ \sqrt{1-12k} }{2}=2(\frac{3- \sqrt{1-12k}-6 }{2}) \\ \frac{3+ \sqrt{1-12k} }{2}=\frac{-6-2 \sqrt{1-12k} }{2} \\ 3 \sqrt{1-12k} =-9 \\ \sqrt{1-12k}=-3 \\ elevamos-al-cuadrado \\ 1-12k=9 \\ 12k=10 \\ k= \frac{5}{6} x^2-3(x-k)-2=0 \\ x^{2} -3x+3k-2=0 \\ x= \frac{3+- \sqrt{9-4(3k-2)} }{2} = \frac{3+- \sqrt{1-12k} }{2} \\ \frac{3+ \sqrt{1-12k} }{2}=2(\frac{3- \sqrt{1-12k} }{2}-3) \\ \frac{3+ \sqrt{1-12k} }{2}=2(\frac{3- \sqrt{1-12k}-6 }{2}) \\ \frac{3+ \sqrt{1-12k} }{2}=\frac{-6-2 \sqrt{1-12k} }{2} \\ 3 \sqrt{1-12k} =-9 \\ \sqrt{1-12k}=-3 \\ elevamos-al-cuadrado \\ 1-12k=9 \\ 12k=10 \\ k= \frac{5}{6}](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2-3%28x-k%29-2%3D0+%5C%5C++x%5E%7B2%7D+-3x%2B3k-2%3D0+%5C%5C+x%3D+%5Cfrac%7B3%2B-+%5Csqrt%7B9-4%283k-2%29%7D+%7D%7B2%7D+%3D+%5Cfrac%7B3%2B-+%5Csqrt%7B1-12k%7D+%7D%7B2%7D++%5C%5C+%5Cfrac%7B3%2B+%5Csqrt%7B1-12k%7D+%7D%7B2%7D%3D2%28%5Cfrac%7B3-+%5Csqrt%7B1-12k%7D+%7D%7B2%7D-3%29+%5C%5C+%5Cfrac%7B3%2B+%5Csqrt%7B1-12k%7D+%7D%7B2%7D%3D2%28%5Cfrac%7B3-+%5Csqrt%7B1-12k%7D-6+%7D%7B2%7D%29+%5C%5C+%5Cfrac%7B3%2B+%5Csqrt%7B1-12k%7D+%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B-6-2+%5Csqrt%7B1-12k%7D+%7D%7B2%7D+%5C%5C+3+%5Csqrt%7B1-12k%7D+%3D-9+%5C%5C++%5Csqrt%7B1-12k%7D%3D-3+%5C%5C+elevamos-al-cuadrado+%5C%5C+1-12k%3D9+%5C%5C+12k%3D10+%5C%5C+k%3D+%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D++)
Bastante extenso... Suerte...
En la expresión una raíz es el triple de la otra: a = 3b
Solución (b)
En la expresión tiene una raíz igual a 3
Solución (c)
El producto de sus raíces es igual al doble de su suma: a*b = 2(a + b)
Igualas las dos expresiones y obtienes el valor de "k"...
Solución # 4
Una raíz es el doble de la otra menos tres: a = 2b - 3
Bastante extenso... Suerte...
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