Question

Construyase el hexágono regular ABCDEF que tiene por lado 10cm y unase entre sí los vértices A,C,E el círculo y calculese el área de la parte de la superficie de la parte plano sombreada

Answer 1

Fijamos algunos conceptos antes de resolver.
En un hexágono regular, el radio de la circunferencia circuscripta es igual a la longitud del radio.
Los angulos interiores son de 120°.

Busco la altura del triángulo ABC (para restarlo a la longitud del radio y sacar cuanto vale el radio de la circunferencia inscripta). Al trazar la altura, quedan dos triángulos rectángulos con angulos de 30, 60 y obvio 90°. Entonces:
h = 10 sen 30° = 10 . 1/2 = 5  por consiguiente, el radio de la circunferencia inscripta es 5 también.
Su área:
Ac = π.r²= π 25 ≈ 78,53

Luego calculamos el area del triángulo dentro del hexágono.
El lado AC del triángulo lo calculé como :

AC = 2 . 10  sen 30° = 20 √3/2 = 10 √3

La superficie, la calculamos por la fórmula de Herón de Alejandría:

At = √(s (s-a) (s-b) (s-c),  con a, b y c los lados del triángulo, que como es equilátero son todos iguales a AC. s es el semiperímetro: (a+b+c)/2

s = 3/2 . 10√3 = 15√3

At = √ [15√3 (15√3-10√3) (15√3-10√3) (15√3-10√3)] =
  
     = √[15√3 (5√3)³ ] = √ [15. 125 √3 (√3)³] = √1875 .9 ≈129,9

Area rayada será igual a At - Ac ; Arayada = 129,9 - 78,53= 51,37