Question

1.) En un triángulo rectángulo ABC, calcule el valor de
“ TanA + TanC ”; si se cumple que:
b=3$\sqrt{ac}$


2.) En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, se
cumple que: TanA = 4TanC. Calcule el valor de “cscC ”

Answer 1

PREGUNTA 1:
triangulo rectángulo ABC : (nos centramos solo en dos ángulos que serian A y C ya que en B seria recto)
(Tan es lado opuesto sobre lado adyacente)

angulo A: su lado opuesto es a , su lado adyacente es c , hipotenusa es b
angulo C: su lado opuesto es c , su lado adyacente es a , hipotenusa es b
con esos datos tendremos que : b²=c²+a²
entonces los datos que me da la pregunta es que :   b=3√(ac)
si elevamos al cuadrado ambos miembros  ....          b²=9*ac
pero sabemos que  b²=c²+a²

reemplazamos;    a²+c²=9*ac  (esta igualdad lo reemplazamos al final)

ahora nos vamos a lo que nos piden ; Tan A +Tan B =?
Tan A= a/c            ....         Tan C=c/a
Tan A + Tan C = (a/c) + (c/a) = (a²+c²) / (ac) = (9*ac) / (ac) = 9

respuesta : Tan A + Tan B = 9 

PREGUNTA 2:
triangulo rectángulo ABC recto en B , (nos centramos en los ángulos A y C)

angulo A : lado opuesto es a , lado adyacente es c , hipotenusa es b
angulo C ; lado opuesto es c , lado adyacente es a , hipotenusa es b
con esos datos tendremos que : b²=a²+c²
los datos de la pregunta es que Tan A = 4Tan C
Tan A= a/c       ....      Tan C = c/a
   TanA = 4*TanC
    (a/c) = 4*(c/a)
        a² = 4*c²
    √(a²) = √(4*c²)
          a = 2*c

ahora nos piden la Csc C = ?     (Csc es hipotenusa sobre opuesto)
Csc C = b/c 
ahora no sabemos cuanto vale b? pero hay que relacionarlo con lo que tenemos;
b²=a²+c²
b²=(2*c)²+c²
b²=4c²+c²
b²=5*c²
b=c*√(5)

ahora si :
Csc C = b/c = (c*√5) / (c) = √5

respuesta : Csc C = √5

ESPERO HABERTE AYUDADO