Question

determinar cuantos números enteros y positivos menores de 5000 pueden formarse con los 8 dígitos, del 0 al 7 inclusive, si no se permite la repetición

Answer 1

Menores de 5000 significa que los números deberán comenzar con la cifra 1, ó la cifra 2, ó la 3 ó la 4, ok? 

Por lo tanto, no nos vale tomar las 8 cifras y combinarlas de 4 en 4 ya que ahí incluiríamos a los números que comenzaran en 5, en 6 ó en 7.

Además tenemos el tema del cero. Considerando que un cero a la izquierda de cualquier número no tiene valor, también habrá que descontar todos los números cuya primera cifra sea cero.

Al final de este follón, todo se reduce a tomar las 7 cifras y combinarlas de 3 en 3, de manera que la cuarta cifra será una de las 4 que he dicho al principio la cual quedará fijada en la primera posición (unidades de millar) y que nos vale para encontrar la solución. 

Una vez calculado para una cifra, el resultado se multiplica por 4 cifras que tenemos como válidas y ya está.

Se usan VARIACIONES porque el orden en que se colocan las cifras importa para distinguir entre una y otra.

Así pues tenemos:
VARIACIONES DE 8 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 3 EN 3 (n)

Acudiendo a la fórmula:

$V_m^n= \frac{m!}{(m-n)!} \\ \\ V_8^3= \frac{8!}{(8-3)!}= \frac{8*7*6*5!}{5!}=8*7*6=336$

Ahora se multiplica por las 4 cifras válidas:
336×4 = 1344 es la respuesta.

Saludos.