Question

Sea M el mayor número real tal que la desigualdad: a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 ≥ ab + bc + CA + M (a - b) ^ 2 se cumple para todos Los números reales a, por c. Calcule el valor de 120M. , por favor necesito una respuesta muy clara o logica .Gracias

Answer 1

Primero véase el archivo adjunto.

Tenemos esto

$m\leq \dfrac{(a-c)(b-c)}{(a-b)^2}+1\\ \\ \\ \text{Sucede que }\dfrac{(a-c)(b-c)}{(a-b)^2}+1\geq \dfrac{3}{4}\text{ . Si hacemos que }m=\dfrac{3}{4}\text{, entonces}\\ \\ \text{la desigualdad original se cumplir\'ia para todos los valores reales de }a,\\ b \text{ y }c.\text{ Es m\'as si colocamos los valores de }m\ \textless \ \dfrac{3}{4}\text{ entonces la desigual- }\\\text{dad sigue cumpli\'endos, pero si colocamos a }m\ \textgreater \ \dfrac{3}{4}\text{ entonces la desi - }\\\text{gualdad solo se cumplir\'ia para ciertos valores de }a,b \text{ y }c$

$\text{Por consiguiente, si queremos que se cumpla la desigualdad }\forall{a,b,c}\in\mathbb{R}\\ \text{entonces }M\leq\dfrac{3}{4}\\ \\ \text{As\'i }\boxed{120M=90}$