Question

Use movimiento relativo poniendo fijo uno y hallando distancia minima y ahi me quede nose como hallar el tiempo. Y cuando desarrolle no me salio clave ayuda porfavor.

Answer 1

Hola.

 Claramente hay un problema con los datos. Verifiquemos algunas cosas:

 La velocidad inicial es raíz de 6 metros por segundo, es decir aproximadamente 2,45 m/s.

 Y los cuerpos están separados 72 por raíz de 2 metros.. es decir aproximadamente 106,07m.

 Imagínese cómo puede ser el recorrido de los tiros oblicuos a menos de 3 m/s separados más de 100m, es como si los lanzáramos con la mano.
 Y con toda la propagación del error por dar datos definidos como raíces, nos aclaran que podemos redondear la aceleración de la gravedad a 10 m/s2?

 Cuánto tarda cada proyectil en volver al piso?

Definamos al proyectil de la izquierda como cuerpo 1, al proyectil de la derecha como cuerpo 2.
Definamos al sistema de coordenadas anclado en el cuerpo 1, con eje "x" positivo hacia la derecha, eje "y" positivo hacia arriba.

Calculemos las componentes de la velocidad de cada cuerpo, que las vamos a estar utilizando:

$v_{1_{x}}=v.cos( \alpha _{1} ) = 2,45*cos(52)=1,51 \frac{m}{s} \\ \\ v_{1_{y}} = v.sen( \alpha _{1}) = 2,45*sen(52) = 1,93 \frac{m}{s} \\ \\ v_{2_x}}=-v.cos( \alpha _{2}) = -2,45*cos(68)=-0,92 \frac{m}{s} \\ \\ v_{2_{y}} = v*sen( \alpha _{2}) = 2,45*sen(68)= 2,27 \frac{m}{s}$

Veamos la ecuación de la elevación del proyectil 1:

$y_{1_{f}}=y_{1_{i}}+v_{1_{y}}*t+ \frac{1}{2}*a*t^{2} \\ \\ y_{1_{f}}=0+1,93*t+ \frac{1}{2}*(-10)*t^{2} \\ \\ y_{1_{f}}=1,93t+5t^{2}$

 Ecuación cuadrática, cóncava hacia abajo, con raíces 0seg y 0,386seg.

Veamos la ecuación de la elevación del proyectil 2:

$y_{2_{f}}=y_{2_{i}}+v_{2_{y}}*t+ \frac{1}{2}*a*t^{2} \\ \\ y_{1_{f}}=0+2,27*t+ \frac{1}{2}*(-10)*t^{2} \\ \\ y_{1_{f}}=2,27t-5t^{2}$

 Ecuación cuadrática, cóncava hacia abajo, con raíces 0seg y 0,454seg.

 Entonces en menos de 1 segundo ambos proyectiles ya volvieron al suelo. Qué se supone que hagamos? Escucho opiniones acerca de una interpretación errónea de los datos.

 Voy a resolverlo como si los datos fuesen correctos (o fuese correcta mi interpretación de los mismos):

 La separación entre ambos proyectiles es la distancia entre sus posiciones. Por el teorema de pitágoras podemos definir al cuadrado de la distancia entre ellos como:

$d^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$

 Como puede observarse, la distancia es siempre un valor positivo, mayor o igual que cero. Por lo tanto la distancia mínima entre ambos sucederá al mismo tiempo que la distancia al cuadrado entre ambos. Como lo que queremos averiguar es el tiempo, y ambas ecuaciones (distancia y distancia al cuadrado) tienen su mínimo para el mismo valor del tiempo, usaremos a la distancia al cuadrado para ahorrarnos una raíz cuadrada en la ecuación.

 Las ecuaciones en "y" ya están expresadas anteriormente, expresemos las ecuaciones de la posición en "x" para cada cuerpo:

 Para el cuerpo 1:

$x_{1_{f}}=x_{1_{i}}+v_{1_{x}}*t \\ \\ x_{1_{f}}=0+1,51*t \\ \\ x_{1_{f}}=1,51t$

 Para el cuerpo 2:

$x_{2_{f}}=x_{2_{i}}+v_{2_{x}}*t \\ \\ x_{1_{f}}=106,07+(-0,92)*t \\ \\ x_{1_{f}}=106,07-0,921t$

Vayamos formando la ecuación de la distancia al cuadrado en función del tiempo, por partes para que no sea incompresible de tan larga. Veamos:

$(x_{2}-x_{1})^{2}=((106,07-0,92t)-(1,51t))^{2} \\ \\ (x_{2}-x_{1})^{2}=(106,07-2,43t)^{2} \\ \\ (x_{2}-x_{1})^{2}=11250,84-515,50t+5,90t^{2}$

$(y_{2}-y_{1})^{2}=((2,27t-5t^{2})-(1,93t-5t^{2}))^{2} \\ \\ (y_{2}-y_{1})^{2}=(0,34t)^{2} \\ \\ (y_{2}-y_{1})^{2}=0,12t^{2}$

Por lo tanto:

$d^{2}=(11250,84-515,50t+5,90t^{2})+(0,12t^{2}) \\ \\ d^{2}=11250,84-515,50t+6,02t^{2}$

Ecuación cuadrática, cóncava hacia arriba. Para conocer su valor mínimo derivamos e igualamos a cero:

$(d^{2})'=-515,50+12,03t=0 \\ \\ t= \frac{515,50}{12,03}=42,85seg$

Así que la distancia mínima sucederá a los 42,85, aproximadamente por la cantidad de errores a propagar. Pero los cuerpos llegaban al suelo nuevamente en menos de 1 segundo. Sí, lo sé. La respuesta es como si no hubiese suelo y los cuerpos pudieran seguir su descenso.

 Y cuáles serían las coordenadas de los cuerpos y la distancia en cuestión?
 Veamos:

$x_{1} =1,51t=64,70m \\ \\ x_{2}=106,07-0,92t=66,65m \\ \\ y_{1} = 1,93t-5t^{2}=-9097,90m \\ \\ y_{2}=2,27t-5t^{2}=-9083,34m$

Y por último:

$d= \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}=14,69m$


Saludos!