Question

Reducir la ecuacion 9x^2+24x+72y+16=0 encontrar vertice, foco, directriz, long de lado recto !

Answer 1

9x^2+24x+72y+16=0   ;dividimos entre 9

x^2 +(8/3)x+8y+ 16/9 =0   ;buscamos completar cuadrados

x^2 +(8/3)x+(4/3)^2 - (4/3)^2 +8y +16/9 =0
   
            (x   +  4/3)^2  - (4/3)^2 +8y +16/9 =0
            (x   +  4/3)^2  - 16/9 +8y +16/9 =0
            (x   +  4/3)^2   +8y  =0
            (x   +  4/3)^2   = -8 y  ← ecuacion ordinaria de la parabola

lo comparamos con     (x -h)^2 = 4p(y-k) con V(h,k)

Entonces:
Vertice: V(-4/3 , 0)      

parametro p:      4p=-8 → p=-2  (viendo esto y que el x esta elevado al cuadrado entonces la parabola se abre hacia abajo)
Entonces     Foco:(-4/3 , 0 - 2) → F(-4/3 , -2)

Directriz: y=0+2 → y=2