Question

Si {an} es una sucesión tal que ,

{an} = [1 + 3/n] *8n

donde * representa que esta elevado


entonces el valor de convergencia de la sucesión {an} es :

A) e*1/8 B)e*4/3 C)e*8/3 D) e*2 E)e*24

Answer 1

recordar :

$\lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{x} )^{x} = e$


tomando a toda la expresión el limite cuando {an} tiende al infinito

$\lim_{n \to \infty} {a_n= [tex] \lim_{n \to \infty} ( 1+ \frac{3}{n} )^{8n}$

dándole forma a la propiedad :

$\lim_{n \to \infty} {a_n=[tex] \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n/3} ) ^{ \frac{n}{3}.8.3 }$

nota :

∞/3  sigue siendo ∞

ahora :

$a _{n}$→∞

entonces :

$a _{n/3}$  → ∞

por ende :

$\lim_{n \to \infty} {a_n=[tex] \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n/3}) ^{ \frac{n}{3}.24 }$


$\lim_{n \to \infty} {a_n=[tex]e ^{24}$

saludos ISABELA.

Answer 2

Hola.

El valor de convergencia de la sucesión es el el límite cuando "n" tiende a infinito de f(n), siendo f(n) la fórmula de la sucesión. Es decir, lo que se busca es hallar a qué valor tiende el enésimo término de la sucesión:

$a_{n}=f(n)=(1+ \frac{3}{n})^{8n} \\ \\ \lim_{n \to \infty} a_{n}= \lim_{n \to \infty} f_{(n)}= \\ \\ \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{3}{n})^{8n}$

 Sabemos que "3/n" tiende a cero cuando "n" tiende a infinito. Por lo tanto "1+3/n" tiende a 1 cuando "n" tiende a infinito. Y sabemos que "8n" tiende a infinito cuando "n" tiende a infinito. Es decir que el límite en cuestión es una indeterminación del tipo 1 a la infinito.

 La indeterminación se resuelve operando convenientemente para llegar a una función que sabemos que tiende a "e":

$\lim_{n \to \infty}( ( 1 + \frac{1}{u} )^{u})^{v} =$

= e^$\lim_{n \to \infty}v$

 Donde "u" y "v" pueden ser funciones de "n" y el proceso es simplemente un cambio de variables. El requisito para resolver la indeterminación es que aparezca lo mismo como divisor que como exponente. La operación conveniente es transformar la fracción:

$\frac{3}{n} = \frac{1}{ \frac{n}{3} }$

 Y luego agregar el exponente que necesitamos para que el límite sea igual a "e", o sea: n/3, y a eso lo elevamos por su inverso (3/n) para que no cambie la función. Sabemos que lo que se eleva a una fracción y luego se lo eleva a la fracción inversa, se pueden unir los exponentes como producto de fracciones, el producto de fracciones inversas es 1, y entonces estamos elevando algo a la uno, o sea que no lo cambia. Es decir, se escribe una función equivalente a f(n) en la cual queda resuelta la indeterminación:

$\lim_{n \to \infty} (1+ \frac{3}{n})^{8n} = \\ \\ = \lim_{n \to \infty} ((1+ \frac{1}{ \frac{n}{3} })^{ \frac{n}{3}})^{ \frac{3}{n}*8n} = \\ \\ = e^{ \lim_{n \to \infty} \frac{24n}{n} } = e^{ \lim_{n \to \infty} 24} = e^{24}$

Respuesta: E) e*24

PD: Tuve que editar mil veces y aún así una fórmula de LaTex no fue reconocida, igualmente quedó legible. Saludos!