Question

(14) una partícula de 20 g y cargada con - 2 ·10-6 c, se deja caer desde una altura de 50 cm. además del campo gravitatorio, existe un campo eléctrico de 2 ·104 v m-1 en dirección vertical y sentido hacia abajo. a.dibuje un esquema de las fuerzas que actúan sobre la partícula y determine la aceleración con la que cae. ¿con qué velocidad llegará al suelo? b.razone si se conserva la energía mecánica de la partícula durante su movimiento. determine el trabajo que realiza cada fuerza a la que está sometida la partícula. g=9,8 !

Answer 1

Buenos días, 

Para iniciar el desarrollo del problema debemos extraer los datos que nos aporta y de ser posible interpretar sus unidades, a fin de trabajar todas en un sistema convencional que dé coherencia a las expresiones que se empleen. Según el problema, tendremos una partícula de masa (m) de 0.02 kg, con una carga (q) equivalente de -2*10-6 C, el cual inicia su desplazamiento desde una altura (h) de 0.5 metros, que equivale al desplazamiento (d) total hasta llegar al suelo, donde es está en presencia de la acción de un campo eléctrico (E) de módulo 2*10^4  V/m, el cual como se describe tiene un comportamiento vertical y sentido hacia abajo, importante recordar para el diagrama de fuerza y la expresión del vector.

Tras ello y definidas las variables a emplear, te adjunto al final del problema el diagrama de fuerza empleado para la resolución, en función al mismo planteamos el comportamiento de la partícula. Por el escenario planteado, la partícula describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, de tal suerte que planteamos la sumatoria de fuerzas en el eje Y, para el cual únicamente actúan la fuerza eléctrica (Fe) y la fuerza gravitatoria (Fg), planteando así que:

ΣFy = Fe + Fg = m*a .... Expresión (1)

Donde como se logra apreciar, únicamente están presentes las fuerzas debidas al campo eléctrico y a la gravedad, teniendo que cada una de ellas se define como:

Fe = q*(Vector Campo Eléctrico E) y Fg = m*g. Ambas con dirección respecto al vector -aj, según el sistema coordenado empleado. De modo que teniendo todas las componentes requeridas y con una constante de gravedad asumida con 9.8 m/s^(2), se resuelve la expresión (1) para despejar la aceleración:

$a = \frac{F_{e}+F_{g}}{m} = \frac{q*E*(-a_{j})+m*g*(-a_{j})}{m} = \frac{(-2*10^{-6})*(2*10^{4}) + (0.02*9.8)}{0.02}$

Finalmente el vector aceleración a definir es: $a = 7.8 * -a_{j} \frac{m}{s^{2} }$, recordando que el resultado está sujeto a la referencia trabajada, donde el sentido hacia abajo corresponde al vector unitario -j o aj, según se desee escribir. Con ello se plantea la expresión de la velocidad, teniendo en cuenta el tipo de movimiento que describe:

$V_{f}^{2} - V_{i}^{2} = 2*a*(d_{f} - d_{o})$ ... Expresión (2)

Donde la relación de la velocidad final que alcanza en su recorrido la partícula depende de su velocidad inicial, de la aceleración y de la distancia desplazada, asumiendo que inicia su movimiento en el reposo y sin recorrer inicialmente una distancia, entonces Vi = 0, al igual que do. Por otro lado la distancia final (df) recorrida concuerda con la altura desde la que se deja caer de 0.5 metros, con ello procedemos a despejar la velocidad de la expresión (2):

$V_{f} = \sqrt{2*a*d_{f}} = 2.7928 -a_{j} \frac{m}{s}$

Cuyo sentido sigue la dirección de la aceleración.

Ahora bien, para el apartado (b), es necesario comprender el comportamiento de cada uno de los fenómenos que intervienen a fin de saber si se conserva o no la energía mecánica. Inicialmente sabemos que el campo eléctrico es conservativo dado que el trabajo para trasladar una partícula no depende del camino que se elija para la circulación sino del punto final e inicial del desplazamiento. Con ello planteamos el trabajo que realiza cada una de las fuerzas que intervienen, tanto por fuerza eléctrica (We) como fuerza gravitatoria (Wg), recordando que el trabajo depende de la fuerza que se aplica a un cuerpo para forzar un desplazamiento en este, lo cual se resume como el producto entre el módulo del desplazamiento por el módulo de la componente paralela a él, dada por la función coseno, así que:

We = Fe*d*cos(alfa) y Wg = Fg*d*cos(alfa). Siendo alfa el ángulo entre la fuerza y la dirección de desplazamiento, tomando como referencia el diagrama de fuerza, se sabe que la fuerza eléctrica va en sentido opuesto al desplazamiento, por tanto alfa = 180 grados, mientras que la fuerza gravitatoria tiene la misma dirección, por tanto alfa = 0 grados, así que evaluando las expresiones con sus parámetros conocidos recordando que se trabaja con los módulos y d es igual a 0.5 metros, se obtiene:

We = q*E*d*cos(180) = -0.02 J

Wg = m*g*d*cos(0) = 0.098 J

El trabajo total (Wt) será la sumatoria de los diferentes trabajos aplicados sobre la partícula, siendo así que Wt = 0.078 J.

Como el sistema es de naturaleza conservativa, el trabajo total debe ser igual a la variación de energía cinética, lo cual podemos verificar calculando el módulo de la rapidez que debe ser coincidente con el calculado en el apartado (a) a través de la velocidad, a partir de la expresión:

$\frac{1}{2} *m* v^{2} = Wt$ ... Expresión (3)

Si se despeja la rapidez de allí y conocido tanto el trabajo total como la masa de la partícula se obtiene que su valor es v = 2.7928 m/s, valor que coincide con el determinado mediante el análisis cinético, constatando así que se mantiene la energía cinética.

Espero haberte ayudado.