Question

Ayuda porfa
Determina un vector unitario que sea paralelo a v= (2,6,-3) y un vector unitario que sea perpendicular a u=(3,2,-1)

Answer 1

Hola. Entiendo que el problema pide un vector unitario paralelo a V, y otro vector unitario perpendicular a U, por lo que consta de dos partes.

a) V = (2, 6, -3)

Llamaré V' a un vector paralelo y de magnitud 1. Si V' es paralelo a V, significa que debe cumplir:

V' = α*V

Donde alpha es un número que pertenece a los Reales. Expresamos en componentes:

V' = (2α, 6α, -3α)

Como V' tiene de módulo 1, debe cumplir que la suma de sus componentes al cuadrado es la unidad.

(2α)² + (6α)² + (-3α)² = 1

Trabajando esto nos queda:

4α² + 36α² + 9α² = 1   ⇒    α = 1/7 ∨ α = -1/7

Eso quiere decir que podemos tomar cualquiera de los dos valores. Arbitrariamente tomaré el positivo, por lo que v' queda definido:

V' = (2/7, 6/7, -3/7)

Se puede comprobar que ese vector es paralelo a V y tiene módulo 1.

b) Necesitamos un vector que sea perpendicular a U = (3, 2, -1). Llamaré a este vector U', que debe cumplir con:

U'·U = 0

Porque son perpendiculares entre sí. Luego expresaré en forma de componentes, llamándole U'₁ a la primera componente, U'₂ a la segunda y U'₃ a la tercera.

(U'₁, U'₂, U'₃)·(3, 2, -1) = 0

Trabajando esa expresión:

3U'₁ + 2U'₂ - U'₃ = 0

Entonces cualquier terna que cumpla con esa ecuación, será un vector perpendicular a U.

Escogemos arbitrariamente U'₃ = 0, y U'₂ = 1 por ejemplo. Eso significa que el vector cumple con:

3U'₁ + 2(1) - 0 = 0

Despejamos el valor de U₁:

U'₁ = -2/3

Ahora, necesitamos que este vector sea unitario. Para lograrlo multiplicamos a nuestro vector por el inverso de su magnitud. 

║U'║ = √[(-2/3)² + (1)² + (0)²] = √13/3

Luego el vector transformado a uno unitario nos queda:

$U' = ( \frac{-2/3}{ \sqrt{13}/3 } , \frac{1}{ \sqrt{13}/3 } , \frac{0}{ \sqrt{13}/3 } )$

Acomodando esto:

$U' = ( -\frac{2}{ \sqrt{13} } , \frac{3}{ \sqrt{13} } ,0)$

Si quieres puedes racionalizar:

$U' = (\frac{2 \sqrt{13} }{13} , \frac{3 \sqrt{13} }{13} ,0)$

Nota que en el caso de hallar un vector paralelo y unitario a V, el problema tenía dos soluciones posibles (cuando escoges el alpha positivo y cuando es negativo). En el caso del vector unitario perpendicular a U, el problema tiene infinitas soluciones, solo deben cumplir con la ecuación:

3U'₁ + 2U'₂ - U'₃ = 0

Puedes elegir dos valores arbitrarios y de esta expresión despejar el tercero. Saludos.

Answer 2

Respuesta:

gracias por tu ayuda