Question

Hola, buenas tardes.
cuatro libros de matemáticas, seis de física y dos de química se colocan en un estante. ¿De cuantas formas distintas es posible ordenar los libros de cada asignatura si se desea que los libros de cada asignatura estén juntos?
Vi en una página que daba 207360 diciendo que era ¨permutación con repetición¨. Me gustaría entender (si está bueno) porque da eso debido a que no me da ese resultado.
Muchas gracias.

Answer 1

Es una permutación debido a que tienes que ocupar todos los elementos que te dan y además el orden si importa, ya que, te pide que los libros de cada asignatura queden juntos. Entonces:
Ocuparías la formula para permutaciones.

 $P^n_{aibici= \frac {n!}{a!b!c!}$

n=12
Le asignaremos variables a los libros para ser facil de calcular.
a= libros de matematicas= se repiten 4 veces, por lo tanto a=4
b= libros de fisica = se repiten 6 veces, por lo tanto b=6
c= libros de quimica = se repiten 2 veces, por lo tanto c=2

$P^n_{a!b!c!}= \frac {12!} {4!*6!*2!}$

Entonces

$P^n_{a!b!c!}= 13860$

Se pueden acomodar de 13860 formas. 

Answer 2

 Esa es la cantidad de maneras en las que se pueden acomodar los libros, pero NO es una permutación con repetición.

 Veamos primero por qué no lo es:

 En una permutación con repetición, los elementos deben ser idénticos entre sí, y lo único que importa es cómo se ordenan los "tipos" de elementos, cada manera de ordenarlos cuenta como una manera diferente (ese es el significado de que importe el orden). La condición de la permutación con repetición es que un tipo de elemento se repita "a" veces, otro "b" veces y otro "c" veces. Si estamos contando cuántos números de 12 cifras podemos formar con seis unos, cuatro dos y dos tres (111111222233 sería uno, 111211312232 sería otro) entonces es una permutación con repetición. No importaría cuál de los unos va primero y cuál después. Lo que estamos permutando son los "tipos de elemento": 1, 2 y 3.

 En tu ejemplo, lo que tenés son simples permutaciones, sólo que con la aplicación del principio multiplicativo.

 Veamos:

 De cuántas formas se pueden acomodar los temas? Ya que son pocas, las podemos escribir, llamemos "M" a los libros de matemáticas, "F" a los de física y "Q" a los de química. Se podrían ordenar de las siguientes formas:

{ MFQ ; MQF ; FMQ ; FQM ; QMF ; QFM }

 Eso es una simple permutación de 3 elementos que se calcula: 3! = 6 maneras diferentes de ordenar los temas.

 Ahora bien, de cuántas formas se pueden ordenar los libros de matemáticas entre sí? Bueno, la simple permutación de los 4 libros de matemáticas es: 4! = 24.

 Y los de física entre sí? Son 6, así que: 6! = 720 maneras diferentes de ordenarlos.

 Bien, los de química son dos solos, uno primerop y el otro después o viceversa, en definitiva: 2! = 2.

El principio multiplicativo nos ayuda a contar muchas maneras de ordenar las cosas sin tener que escribirlas a todas, y puede pensarse así:

 Por cada manera de ordenar los libros de matemáticas, habrá 720 maneras diferentes de ordenar los de física, y todas son maneras diferentes de ordenar el estante. A su vez, por cada manera de ordenar los de matemáticas y los de física, hay dos maneras de ordenar a los de química. Todas esas maneras cuentan como una ordenación de los temas, que además hay 6 maneras diferentes de ordenarlos.
 Es decir que se resume toooda la cuenta en permutar temas, multiplicar por permutaciones de matemática, multiplicar por las de física y multiplicar por las de química:

3! . 4! . 6! . 2! = 6 . 24 . 720 . 2 = 207360 maneras diferentes de ordenar los libros por tema en el estante.