Question

Un avión viaja 400km hacia el oeste para ir de la ciudad A a la ciudad B, luego 300km 45° hasta la ciudad C y finalmente 100 km hacia el norte hasta la ciudad D.
A) Encontrar la distancia que hay entre la ciudad A y la ciudad D.
B) La dirección que debe volar el avión para volver directamente de la ciudad D a la ciudad A.

Answer 1

Para resolver este ejercicio, primero debemos realizar un diagrama vectorial basado en los datos que nos da el ejercicio. Ubicamos en un plano los puntos indicados para las ciudades A,B,C y D

A-B: una trayectoria recta (angulo de 0°) hacia el oeste con una magnitud de 400 Km

B-C: Partiendo del punto B, e inclinado a con angulo de 45° hacia el noroeste, un vector de magnitud 300 Km

C-D: Un recorrido recto hacia el norte formando un angulo de 90° y una magnitud de 100 Km

Esto nos deja un primer triangulo obtuso (ver imagen adjunta) del cual conocemos dos lados y un angulo, por lo que podemos aplicar LEY DEL COSENO, para hallar distancia entre C y A:


c² = a² + b² - 2ab.cos(180 - 45°)
c² = 300² + 400² - 2.300.400.cos(135°)
c² = 419705.6275
c = 647,85 Km

Necesitamos hallar todavía el valor de algún angulo del triangulo superior, lo llamaremos  ψ. Partiendo de que es igual a la suma de 90° + φ y que:

180 = 90 + φ + θ + 45

donde θ es un angulo interno desconocido del triangulo inferior, entonces descubrimos por ley del seno quien es θ:

Sen θ = 400. Sen(135)/647,85
Sen θ = 0,4365
θ = 25,88°

Entonces: 

φ =  180  - 90 - θ - 45
φ =  45 - θ
φ =  45 - 25,88
φ = 19,113°

Finalmente el angulo interno del triangulo superior es de 109,113°.

Ahora, podemos calcular la distancia entre D y A, partiendo del triangulo rectángulo que se forma en la parte superior al unir ambas ciudades en un vector, aplicamos LEY DEL COSENO:


d² = a² + b² - 2ab.cos(180 - 45°)
d² = 100² + 647,85² - 2.100.647,85.cos(119,113°)
d² = 492555,1703
d = 701,82 Km

La dirección en que debe volar el avión es Sureste.