Question

f(x)= { |2x -6|+2 0≤x<5. -2/3x^2+20/3x-32/3 5≤x≤8. √2x-16 8

Answer 1

La función está partida, tiene una definición para x entre 0 y 5, otra para x entre 5 y 8, y otra para x mayor que 8.

Cualquier análisis que debas hacer sobre los puntos en los que la función se parte, debes hacerlo a izquierda y a derecha teniendo en cuenta sus diferentes definiciones.

Dibujé a f como la unión de tres funciones, adjunto el gráfico.

 Los candidatos a ser extremos (locales o generales), son aquellos para los cuales la función no esté definida, aquellos en los que la función se parte, o aquellos en los que la derivada sea cero. Consideramos a la función módulo una función partida también, veamos:

Son puntos críticos de la función:

x=0, porque es nuestro límite inferior de la función (si no existiera la condición de que el menor valor de x es cero deberíamos contar al menos infinito en su lugar)

x=3, porque es donde se parte la función módulo (vale 2x-6 si 2x es mayor que 6, o -(2x-6) si 2x es menor que 6.

x=5, porque la función está partida en ese punto por definición (vale una definición para x menor que 5 y otra definición para x mayor que 5).

x=8, porque la función está partida en ese punto por definición (vale una definición para x menos que 8 y otra definición para x mayor que 8)

x=+infinito (límite superior de los valores que puede asumir x, interpreto de la pregunta que la tercera definición es para x mayores que 8, aunque en tu pregunta está ausente el símbolo, podría ser x=8 o x>8, en caso de que sea la tercera definición para x=8 no consideres el punto crítico de +infinito)

Veamos las derivadas a ver si se hacen cero:

$f'=-2;0\ \textless \ x\ \textless \ 3 \\ \\ f'=2;3\ \textless \ x\ \textless \ 5 \\ \\ f'=- \frac{4}{3}x+ \frac{20}{3};5\ \textless \ x\ \textless \ 8 \\ \\ f'= \frac{x}{ \sqrt{(2x-16)} } ;8\ \textless \ x$

La derivada de la segunda definición se hace cero en x=5, pero x=5 ya era un punto crítico por estar la función partida. La derivada de la tercera definición no está definida para x menores que 8 (la misma función no está definida para esos valores), pero la definición de la función está dada para x mayores.

Veamos los ímites por izquierda y por derecha para los puntos críticos (para x=0 sólo por derecha, para x=+infinito sólo por izquierda, ya que son los extremos del dominio):

$\lim_{x \to 0^{+}} -(2x-6)+2 = 8$

Luego tenemos derivada negativa hasta x=3

$\lim_{x \to 3^{-}} (2x-6)+2= \lim_{x \to 3^{+}} - (2x-6)+2=2$

Luego tenemos derivada positiva hasta x=5

$\lim_{x \to 5^{-}} (2x-6)+2= \lim_{x \to 5^{+}} -\frac{2}{3}x^{2}+ \frac{20}{3}x- \frac{32}{3}=6$

Luego derivada negativa hasta x=8

$\lim_{x \to 8^{-}} -\frac{2}{3}x^{2}+ \frac{20}{3}x- \frac{32}{3}= \lim_{x \to 8^{+}} \sqrt{2x-16} =0$

Y luego derivada positiva hasta x=+infinito

$\lim_{n \to +\infty} \sqrt{2x-16}=+\infty$

Analicemos todos estos resultados, los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:

C=[3;5]u[8;+infinito]

D=[0;3]u[5;8]

Los extremos son:

x=0 máximo local (f=8), la función no está definida por izquierda y por derecha decrece.

x=3 mínimo local (f=2), la función decrece por izquierda y crece por derecha.

x=5 máximo local (f=6), la función crece por izquierda y decrece por derecha.

x=8 mínimo absoluto (f=0), la función decrece por izquierda y crece por derecha, y es el menor de los mínimos locales.

x=+infinito máximo absoluto (f=+infinito), la función crece por izquierda y es el extremo del dominio por derecha, y es el mayor de los máximos locales.

Éxitos!