Question

TEMA: PPROGRCION GEOMETRICA

Un balón de goma se eleva después de cada bote en el suelo hasta los tres quintos de su altura inicial se deja caer desde los tres quintos de su altura inicial. Se deja caer desde 5cm de altura
¿ A que altura se elevaría después de   los 4 botes? ¿Calcula  la distancia que recorre entre subida y bajada en los 10 primeros botes?

Answer 1

Razón de la PG ... r = 3/5
Primer término de la PG ... a₁ = 5 metros (no centímetros)
Número de términos de la PG... n = 4 (porque nos pide 4 botes)

Se aplica la fórmula del término general 
$a_n=a_1* r^{n-1} \\ \\ a_4=5*( \frac{3}{5} )^{4-1}=5* \frac{27}{125} = \frac{135}{125}=1,08\ metros$

En el cuarto bote alcanza una altura de 1,08 metros.

Para calcular la segunda cuestión se acude a la fórmula de suma de términos de la PG donde en este caso tendremos que  n = 10  porque nos pide sobre los 10 botes, y el valor del término a₁₀ habrá que calcularlo del mismo modo que antes:

$a_{10} = 5* (\frac{3}{5})^{10-1}=5* \frac{19683}{1953125} = \frac{98415}{1953125}=0,05\ metros$ 

Sería la altura alcanzada al décimo bote: un centímetro.

Calcular ahora la suma de esos 10 botes sería usando la fórmula de la suma de términos, distancia que luego habrá que multiplicar por 2 y restarle 5 unidades ya que cada altura alcanzada va seguida de la misma distancia al bajar hasta el suelo, menos la primera bajada de 5 metros que sólo hay que contarla al principio una vez.

$S_n= \frac{a_n*r\ -\ a_1}{r-1} \\ \\ S_{10} = \frac{0,05*(3/5)\ -\ 5}{(3/5)-1}= \frac{0,3-5}{-2/5} = \frac{-4,7}{-0,4} =11,75$

Esta distancia sólo cuenta con los botes ascendentes. Hay que multiplicarla por 2 y restarle 5 unidades según lo explicado antes:

(11,75 × 2) - 5 = 18,5 metros es la respuesta a la segunda cuestión.

Saludos.