Question

6.Si se suman el cuarto y el sexto termino de una progresión aritmética se obtiene 20, pero si se multiplican el tercer con el quinto termino de la misma progresión aritmética se obtiene también 20. entonces la suma de los cinco primeros términos de esta progresión es:a) 0b) 10c) 20d) 24e) 40?

Answer 1

Los términos indicados pueden representarse todos en función de uno solo, de este modo:

4º término:  x
6º término: x+d+d = x+2d

3º término: x-d
5º término: x+d

Ahora se plantea el sistema de ecuaciones según el texto...
1ª) ... x + (x+2d) = 20  ⇒⇒⇒ 2x+2d = 20 ⇒⇒⇒ x+d = 10 ⇒⇒⇒ x = 10-d

2ª) ... (x-d)·(x+d) = 20 ⇒⇒⇒ x² - d² = 20

Sustituyo el despeje de la primera en la segunda...
$(10-d)^2-d^2=20 \\ \\ 100+d^2-20d-d^2=20 \\ \\ 100-20=20d \\ \\ 80=20d \\ \\ d=4$

Con esto he calculado la DIFERENCIA entre términos consecutivos.

Ahora sustituyo ese valor en el despeje de la 1ª ecuación y conoceré "x" que es el 4º término  a₄ ...

x = a₄ = 10-4 = 6

Acudiendo a la fórmula general de cualquier progresión aritmética calculo el primer término  a₁ ...

$a_n = a_1+(n-1)*d \\ \\ a_4=6=a_1+(4-1)*4 \\ \\ a_1= 6-12=-6$

Ya tengo el primer término. Ahora calculo el quinto término sumando la diferencia "d" al valor del 4º término.

6 + 4 = 10 = a₅

Finalmente se usa la fórmula de suma de términos para llegar a la respuesta:

$S_5= \frac{(a_1+a_5)*n}{2} =\frac{(-6+10)*5}{2} =10\ \ \ opci\'on\ b)$

Saludos.

Answer 2

La suma de los primeros cinco términos de la progresión es igual a 70

Una progresión aritmética

Es una sucesión en la que si restamos dos términos consecutivos de la misma esta diferencia es constante, es decir cada termino se obtiene sumando el anterior por una constante.  

El nesimo termino se obtiene con la ecuación:  

an = a1 + d*(n-1)

Tenemos que la suma del cuarto término más el sexto es 20:

a1 + d*(4 - 1) + a1 + d*(6 - 1) = 20

2a1 + 3d + 5d = 20

2a1 + 8d = 20

1. a1 = 10 - 4d

(a1 + 2d)*(a1 + 4d) = 20

a1² + 4da1 + 2da1 + 8d² = 20

2. a1² + 6da1 + 8d² = 20

Sustituimos la ecuación 1 en la ecuación 2:

(10 - 4d)² + 6d*(10 - 4d) + 8d² = 20

100 - 80d + 16d² + 60d - 24d² + 8d² - 20 = 0

0d² - 20d + 80 = 0

20d = 80

d = 80/20

d = 4

Sustituimos en la ecuación 1:

a1 = 10 - 4*4

a1 = 10 - 16

a1 = -6

a5 = -6 + 10*4 = 40 - 6 = 34

La suma de los primeros 5 términos:

S5 = (-6 + 34)*5/2 = 70

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