Question

Dada una población en la que se analiza la variable aleatoria ξ: N (μ, σ) se desea estimar σ^2=V (ξ)
Para ello se propone tres estimadores:
1. σ ^2 1 = S^2 X = ∑ (xi –ax )^2/n
2. σ ^2 1 = S^2 1 = ∑ (xi –ax )^2/(n-1)
3. σ ^2 1 = d^2 X = ∑ (xi –μ )^2/n
CUESTION: ¿Cuál tiene menor E.C.M?

Answer 1

El estimador sesgado de la varianza:

$S^{2}_{n}=\sum_{i=1}^{n} (X_{i}-\overline{X})^{2}$

 tiene menor ECM que el estimador insesgado de la varianza:

$S^{2}_{n-1}= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_{i}-\overline{X})^{2}$

Dado que:

$MSE(S^{2}_{n})= \frac{2n-1}{n^{2}}\sigma^{4}$ 

es menor que:

$MSE(S^{2}_{n-1})= \frac{2}{n-1}\sigma^{4}$ 

para todo n.

 Siendo la variable $\xi$ de distribución normal, me tiento a creer que:

 $\mu=\overline{X}$

 por lo que su estimador sería el mismo y mismo ECM.

 Quedo investigando el estimador 3. para encontrar la diferencia que supongo que debe haber, y edito la respuesta.

Saludos!