Question

Necesito el recorrido de la 4.3 por favor

Answer 1

Ejercicio 4.3
Primero debemos tener en cuenta que las funciones $f_1(x)=e^{x}$ y $f_2(x)=e^{-x}$ son continuas en toda la recta real y que $e^{x}\ \textgreater \ 0$ , $e^{-x}\ \textgreater \ 0$ para todo $x\in \mathbb R$ por ende $f(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\ \textgreater \ 0\,,\, \forall x\in \mathbb R$.

(1) Veamos si tiene extremos relativos
 
                 $f'(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}=0\to e^{2x}=1\to x=0$

** $\text{Si }x\ \textless \ 0 \to f'\ \textless \ 0~~~(f \text{ es decreciente})$

** $\text{Si }x\ \textgreater \ 0 \to f'\ \textgreater \ 0~~~(f \text{ es creciente})$

Entonces x = 0 es un punto de mínimo, es decir que $f\geq 1$

(2) Por otra parte 

                      $\lim\limits_{x\to\pm \infty}f(x)=+\infty$

Por ende $\text{Ran }f=[1,+\infty)$