Question

Halla el área limitada por f(x)=x2-2x-15, el eje ox y las rectas x=-4 y x=7

Answer 1

El área baja la curva se obtiene de una integral.

La función f(x) = x² - 2x - 15, es una parábola.

y = x² - 2x - 15, completamos cuadrados

y + 15 = x² - 2x

y + 15 = (x² - 2x + 1 - 1)

y + 15 = (x - 1)² - 1

y + 16 = (x - 1)²

Vértice de la parábola: (1, -16)

Puntos de corte con los ejes:

- Si x = 0 :

y + 16 = (0 - 1)²
y + 16 = 1
y = -15          ⇒    (0, -15)

- Si y = 0 :

0 + 16 = (x - 1)²

16 = x² - 2x + 1

x² - 2x - 15 = 0
Se obtiene dos puntos de corte: ⇒  (5, 0)     y    (-3, 0)

La ecuación tiene un punto mínimo por ser una parábola hacia arriba:

Mín (1, -16)

La región se acotará por dos rectas verticales:

x = -4      y       x = 7, además del eje x

Se obtienen tres regiones a las cuales le calcularemos la integral definida

$(\frac{x^{3} }{3} - x^{2} -15x)^{7} _{5} +(\frac{x^{3} }{3} - x^{2} -15x)^{-3} _{-4}+(0-\frac{x^{3} }{3} + x^{2} +15x)^{5} _{-3}$

(-119/3 + 175/3) + (27 - 68/3) + (175/3 + 27)

56/3 + 13/3  + 256/3 = 325/3 u²