Question

Demuestre que el conjunto formado por los vectores de R^2, constituyes un Espacio vectorial. Nota: Muestre que cada uno de los axiomas se satisface .

Answer 1

Para que un conjunto de vectores forme parte de un espacio vectorial R², se deben cumplir una serie de propiedades, las cuales definen las operaciones básicas:

Sean los vectores U = (a,b), V = (c, d), W = (e, f)
con U, V y W ∈ R²

Definimos los axiomas principales:

1) Propiedad conmutativa: U + V = V + U
(a + c, b + d) = (c + a, d + b)

2) Propiedad asociativa: U + (V + W) = (U + V) + W = (W + U) + V

3) Elemento neutro: Sea un vector Y = (0, 0), tal que

U + Y = U = (a + 0, b + 0) = (a, b)

4) Inverso aditivo: Para cada vector existe un opuesto, es decir U y -U, de tal manera que -U  = (-a, - b) pertenece a U = (a, b), de manera que: U + (-U) = (0, 0)

5) Multiplicación por escalar: Sea un escalar k que pertenece a los reales (k ∈ R), tal que: k × U = k × (a, b) = (ka, kb)

6) Distributividad:

U × V = (a × c, b × d)

7) Se tiene que 1 × U = U = (a , b)

Todas las mencionadas propiedades establecen las operaciones para vectores en su dimensión de par ordenado, las cuales dan por resultado otro vector que forma parte del espacio.