Question

Un auto ingresa en Concepción al puente nuevo a San Pedro Con una rapidez de 54 km/h, la que mantiene constante mientras recorre el puente. En el mismo instante en San Pedro otro auto ingresa lentamente al puente con una rapidez inicial de 10.8 km/h hacia Concepción, acelerando a 1 m/s2. Si la longitud del puente es de 1838 m. Calcular a) la posición donde se cruzan, b) la rapidez del auto de San Pedro en el instante en que se cruzan, ¿qué comentario puede hacer de este resultado?

Answer 1

Buenos días,

Para resolver el problema planteado, iniciamos extrayendo los datos y fijando un sistema coordenado de referencia, usaremos el extremo de Concepción - San Pedro, como el origen y lo denominaremos como el Carro A, mientras que el extremo San Pedro - Concepción, estará a 1838 m (distancia del puente), donde ingresa el Carro B. Para el Carro A, se sabe que dispone de velocidad constante y aceleración cero, pero previo a ello se trabajan las velocidades en unidades de m/s para mantener la convención y concordancia entre parámetros, de modo que:

$Va = \frac{54km}{h} * \frac{1h}{3600s} * \frac{1000m}{1km} = 15 m/s$

$Vb = \frac{10.8km}{h} * \frac{1h}{3600s} * \frac{1000m}{1km} = 3 m/s$

Ahora sí, se definen las expresiones de las posiciones para cada auto, recordando que para el Carro A se hace coincidir con el origen, de modo que su posición inicial es cero y posee aceleración nula, así que:

$Xa = 15*t$ 

Mientras que el Carro B, inicia su recorrido en el otro extremo del puente, es decir, su posición inicial es de 1838 m, sin embargo su desplazamiento corresponde con el vector -ax y posee aceleración constante, de modo que su expresión final es:

$Xb = 1838 - 3*t - \frac{1}{2} * t^{2}$

A partir de ello se plantea la resolución de cada inciso. Para el apartado (a), se requiere que sus posiciones sean las mismas, así que se igualan las expresiones y busca el tiempo en que ocurre el cruce de ambos carros, observando la obtención de una ecuación cuadrática:

$\frac{1}{2}*t^{2} + 18*t - 1838 = 0$

De la cual se obtienen 2 posibles valores para el tiempo, siendo solo uno el correcto, representado por t = 45,25 s (solución positiva), la misma se sustituye en cualquier expresión de posición de los carros y se obtiene el resultado de cruce, siendo así:

$Xa = 15*45,25 = 678,75 m$

Para el apartado (b), basta plantear con la velocidad y la aceleración, la velocidad resultante en el punto de encuentro que se desprende de la velocidad final, siendo así:

$Vb = Vo + a*t = 3 + 45,25*1 = 48.25 m/s * \frac{1km}{1000m} * \frac{3600s}{1h} = 173.7 km/h$

Espero te haya ayudado.

Answer 2

   
  Datos

      dAB = 1838m

    V A= 54 Km/ h

    VoB = 10.8 Km / h

    a B = 1 m/s²

    Calcular

     a) d = ? donde se cruzan

     b) Vf B = ? cuando se cruzan 

       Comentar el resultado 

        Solución 

                  transformación

                           54 Km/ h * 1000 m / 1Km * 1h / 3600 s = 15 m/s

                           10.8 Km /h * 1000m / 1Km* 1h / 3600 s= 3 m/s


                    Se plantea una ecuación de distancias 


                                dA  +  dB = 1838m


                             dA = VA * t 


                             dB = VoB * t + aB * t² / 2


                       VA * t  + VoB * t + aB * t² / 2 = 1838m


                 15 m/s * t + 3 m/s * t + 1 m/s² * t² / 2 = 1838m 
     

                       15t  + 3t +0.5t² - 1838 =0

                         0.5t² + 18t - 1838 =0   dividiendo entre 0.5, queda 

                              t²  + 36t - 3676 =0

                              t = -36 +- √( 36² - 4*1*(-3676))  / 2*1

                              t = -36 +- 126.4911 / 2
  
                              t = 45.245 s

                              t = -81.245 s    este tiempo no se toma solo el t positivo


                           dA = 15 m/s * 45.245 s = 678.675m


                            dB = 3 m/s * 45.245 s + 1 m/s²* (45.245 s )² /2


                            dB = 135.735 m + 1023.555m= 1159.29 m.    a)


                              VfB= VoB + aB * t


                              VfB = 3 m/s + 1 m/s² * 45.245 s= 48.245  m/s. b)


                           Se cumple que dA + dB  es igual 1838 m


                         678.675 m+ 1159.29 m = 1837.965 ≈ 1838m.