Question

En una fabrica de conservas se necesitan botes cilindricos de un litro de capacidad. Determinar las dimensiones del bote de manera que en su construccion entre la menor cantidad de material posible.

Answer 1

Es un poquito largo pero creo que me voy a explicar bien:

La fórmula del volumen de un cilindro es  :V = π . r² . h 
Definiendo:
r es el radio de la base.
h es la altura del cilindro. 

El área  A = 2 π r² + 2 π r h 

Sustituyendo la capacidad requerida de 1 litro en la fórmula del volumen obtenemos: 1000 cm³ = π r² h 
h = 1000/π r² . . . . . . . . . .(1)

Valor que reemplazado en la ecuación del área nos deja 
A = 2 π r² + 2 π r . 1000/ π r² 
A = 2 π r² + 2.000/r 

Debemos Derivar en función de r para hallar el punto crítico, obtenemos: 

A´(r) = 4π r - 2000/r² 

Igualando a cero queda 
4π r - 2000/r²  = 0
4π r³ = 2000 
r³ = 2000/4π 
r³ = 159,154976 . . . . . . . . .(2)
r = (159,154976) ^ 1/2
r = 5,419261 

Reemplazado el valor de (2) en la ecuación (1) nos da 
h = 1000/(3,141592 . 5,419261) 
h = 10,83852 

Volviendo a derivar la ecuación del área nos queda 

A"(r) = 4π + (2000 . 2r)/r³ 

que al ser positiva nos indica que el valor hallado con la primera derivada es un mínimo, luego se tiene 

Respuesta: Las dimensiones del cilindro de área mínima son de un radio de 5,42 cm y una altura de 10,84 cm.