Question

Ecuación de la circunferencia A(3,8)B(-3,10)C(-7,2)

Answer 1

 A(3,8) B(-3,10) C(-7,2)

Usamos la ecuacion general de la circunferencia:
$x^{2} + y^{2} +Dx+Ey+F=0$ pero usando las variables D,E,F como incognitas que debemos buscar

Reemplazamos los puntos A, B y C en la ecucion ya puesta arriba, una por una

reemplazando A(3,8):
$3^{2} + 8^{2} +D(3)+E(8)+F=0$
reduciendo y arreglando:
3D+8E+F=-73 ......................i

reemplazando B(-3,10):
$(-3)^{2} + 10^{2} +D(-3)+E(10)+F=0$
reduciendo y arreglando:
-3D+10E+F=-109 ...........................ii

reemplazando C(-7,2):
$(-7)^{2} + 2^{2} +D(-7)+E(2)+F=0$
reduciendo y arreglando:
-7D+2E+F=-53 .............................iii

Obteniendo un sistema de tres ecuaciones
3D+8E+F=-73
-3D+10E+F=-109 
-7D+2E+F=-53 

Por determinantes
$det(sistema)= \left[\begin{array}{ccc}3&8&1\\-3&10&1\\-7&2&1\end{array}\right]$ =56

$det(D)= \left[\begin{array}{ccc}-73&8&1\\-109&10&1\\-53&2&1\end{array}\right]$ =176

$det(E)=\left[\begin{array}{ccc}3&-73&1\\-3&-109&1\\-7&-53&1\end{array}\right]$ =-480

$det(F)=\left[\begin{array}{ccc}3&8&-73\\-3&10&-109\\-7&2&-53\end{array}\right]$ = -776

El valor de las variables son
$D= \frac{det(D)}{det(sistema)}$ , $E= \frac{det(E)}{det(sistema)}$ , $F= \frac{det(F)}{det(sistema)}$

D=  176/56
E= - 480/56
F= - 776/56

simplificando fracciones
D=  22/7
E= -60/7
F= -97/7

y reemplazando estas variables en la ecuacion general de la circunferencia $x^{2} + y^{2} +Dx+Ey+F=0$

será
$x^{2} + y^{2} + \frac{22}{7} x- \frac{60}{7} y- \frac{97}{7} =0$

acomodando para despues completar cuadrados
$x^{2} + \frac{22}{7} x + y^{2}- \frac{60}{7} y- \frac{97}{7} =0$
completando cuadrados

$x^{2} + \frac{22}{7} x + (\frac{11}{7})^{2} + y^{2}- \frac{60}{7} y +(\frac{30}{7})^{2}- \frac{97}{7} = 0+(\frac{11}{7})^{2}+(\frac{30}{7})^{2}$

$(x+ \frac{11}{7})^{2} + (y- \frac{30}{7})^{2} =\frac{97}{7}+(\frac{11}{7})^{2}+(\frac{30}{7})^{2}$

$(x+ \frac{11}{7})^{2} + (y- \frac{30}{7})^{2} =\frac{97}{7}+\frac{121}{49}+\frac{900}{49}$

haciendo homogeneas las fracciones
$(x+ \frac{11}{7})^{2} + (y- \frac{30}{7})^{2} =\frac{679}{49}+\frac{121}{49}+\frac{900}{49}$

Finalmente la ecuacion de la circunferencia (en forma ordinaria)
$(x+ \frac{11}{7})^{2} + (y- \frac{30}{7})^{2} =\frac{1700}{49}$