Question

Averigua si entre las rectas de ecuaciones -3x + 2 y -1 = 0 ; -2x -3y= -7 y -6x + 4y = -5 existe alguna relación de paralelismo o perpendicularidad. Justifica la respuesta

Answer 1

Comencemos con la recta uno:
$-3x + 2 y -1 = 0$

Escribiendola de la forma : $y=mx+b$  , en donde $m$  es la pendiente de la recta.
$-3x + 2 y -1 = 0 \\ 2y=3x+1 \\ \\ y= \frac{3}{2} x+1 \\ \\ \text{ De donde se observa que la pendiente } \bf m_1= \frac{3}{2}$

Realizando lo mismo con la segunda recta   $-2x -3y= -7$
$-2x -3y= -7 \\ \\ 3y=-2x+7 \\ \\ y= -\frac{2}{3} x+ \frac{7}{3} \\ \\ \text{ De donde se observa que la pendiente } \bf m_2= -\frac{2}{3}$


Ahora con la tercera recta:$-6x + 4y = -5$ 

$-6x + 4y = -5 \\ \\ 4y=6x-5 \\ \\ y= \frac{6}{4}x - \frac{5}{4} \\ \\ y=\frac{3}{2}x - \frac{5}{4} \\ \\ \text{ De donde se observa que la pendiente } \bf m_3= \frac{3}{2}$


Teniendo las tres pendientes :
$m_1= \frac{3}{2} \\ \\ m_2=- \frac{2}{3} \\ \\ m_3=\frac{3}{2}$

Se puede determinar si son paralelas o perpendiculares.
Para que sean perpendiculares se debe de cumplir que :

$m \times m_1= -1$

Y si son paralelas, las pendientes tienen el mismo valor.

De tu ejemplo, se observa que la pendiente de la recta 1 y la recta 3 son paralelas, tienen el mismo valor :
$\bf m_1=m_3 = \frac{3}{2}$

Ahora, para la pendiente 1 ,3 con respecto a la recta 2 :
$m_1\times m_2 \\ \\ \frac{3}{2} \times -\frac{2}{3} \\ \\ - \frac{6}{6} =-1 \\ \\ \text{Lo cual indica que las rectas son \bf perpendiculares}$

Como las rectas 1  y  3 son paralelas, tambien se deduce que la recta  2 es perpendicular a la recta 3  y 1 


Anexo grafica con las tres rectas.