Question

Sean m y n enteros positivos. encuentre dos numeros no negativos cuya suma sea de modo que el producto de la mesima !

Answer 1

Partimos de que :

x+y = S 

entonces

P = x^m * y^n = x^m * (S - x)^n 

Suponemos que los valores de m y n son distintos de 0 

Veamos el dominio. 

x varía entre 0 y S, para poder definir las potencias de números positivos en exclusividad. 

Para x = 0 -> y = S - x = S 

P = 0^m * S^n = 0 

Para x = S -> y = S - x = 0 

P = S^m * 0^n = 0 

Observemos que entre x= 0 y x=S, el producto toma valores positivos distintos de cero, por lo que debe haber un máximo. 


Es decir, si encontramos un valor intermedio entre 0 y S que anule la derivada, tendremos un máximo. 


dP/dx = m x^(m-1) * (S -x)^n + x^m * n * (S - n)^(n-1) * (-1) 

Sacamos factor común x^(m-1) * (S - n)^(n-1) 

dP/dx = x^(m-1) * (S - n)^(n-1) [ m (S -x) - n x ) 

Igualando a 0 

dP/dx = x^(m-1) * (S - n)^(n-1) [ m (S -x) - n x ) = 0 

Simplificamos x^(m-1) * (S - n)^(n-1) porque buscamos valores de x distintos a 0 o a S 

m (S -x) - n x = 0 

(S-x)/x = m/n 

(S/x) - 1 = m/n 

S/x = (m + n) / n 

x = (m/(m+n)) S 

y = S - x = (n/(m+n)) S 

Answer 2

  Respuesta: Primero debemos formular la pregunta completa la cual sería:

Sean m y n dos enteros positivos. La suma de dos números no negativos es S. Exprese el producto de la m-enésima potencia de uno por la n-enésima potencia del otro en función de uno de los números. Ya formulada de manera correcta haremos el procedimiento:

Explicación paso a paso:

(1) Definir los datos

  m,n ∈ Z⁺ (m y n pertenecen a loa enteros positivos)

(2) Representar dichos números con variables

  m=x

  n=y

(3) Definir el problema: nos pide expresar el producto de m con su condición y de n con su condición en función de uno de los números, eso quiere decir que armaremos una función la cual se llamará Función del producto

  P=f(x)=?

(4) Definimos la condición: la condición está dada en el ejercicio, la suma de dos números no negativos es S, entonces:

  x+y=S

(5) La función del producto según lo estipulado, exprese el producto de la m-enésima potencia del uno por la n-enésima potencia del otro

 $P=(x^{m})(y^{n})$

(6) El ejercicio nos pide expresar P en función de uno de los números, entonces

De la condición despejamos un número, en este caso la y

  x+y=S ⇔ y=S-x

(7) Sustituimos el valor de y=S-x en P, tal que:

  $P=(x^{m})(S-x)^{n}$

(8) En el paso 3 definimos que

  $P=f(x)=(x^{m})(S-x)^{n}$

(9) Comprobación asignando valores a m y n

Sea m =1 y n=1, ya que el ejercicio dice que m y n son Enteros positivos

Reemplazamos m y n en la condición

x+y=S ⇒ 1+1=S ⇒ S=2

Reemplazamos S, m, n en la función producto y sacaremos su dominio

  $f(x)=(x^{m})(S-x)^{n}$ ⇒ $f(x)=(x^{1})(S-x)^{1}$

  Realizamos el producto del monomio con el binomio y nos quedará

  $f(x)=2x-x^{2}$

  Por concepto de función cuadrática obtenemos que el domino de es:

  $Dom f: x$ ∈ R