Question

Una ama de casa separa a fin de mes $300 de ingreso, cada mes ahorra 50 adicionales al período anterior ¿cuando será mayores de 31000 $ sus ahorros?

Answer 1

Hay que resolverlo por progresiones aritméticas (PA).
De los datos del ejercicio podemos deducir lo siguiente:

Primer término de la PA (lo que ahorra el primer mes): a₁ = 300

Diferencia entre términos consecutivos (lo que va añadiendo cada mes a lo ahorrado el mes anterior:  d = 50  

Suma de términos de la PA:  $S_n=31000$

Y nos pide el tiempo que tardará en superar esa cantidad, es decir, los meses que serán necesarios para ello que es el nº de términos de esta PA:
n = ?

Tampoco conocemos el valor del último término de la PA que será lo que ahorre el mes que llegue a esos 31000:
$a_n=?$ 

Para solucionarlo hemos de apoyarnos en las dos fórmulas más habituales de las PA que son: 

Término general:  $a_n=a_1+(n-1)*d$  ... sustituyendo...
$a_n=300+(n-1)*50 \\ a_n=300+50n-50 \\ a_n=250+50n$

Lo reservamos y usamos la otra fórmula:  $S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}$ ... sustituyendo...

$31000= \frac{(300+a_n)*n}{2} \\ \\ 62000=(300+a_n)*n$

Sustituyo  $a_n$  por su valor de la primera fórmula y resuelvo...
$62000=(300+250+50n)*n \\ 62000=550n+50n^2 \\ ...simplifico\ \ dividiendo\ \ todo\ por\ 50... \\ 1240=11n+n^2 \\ n^2+11n-1240=0$

Al resolver esa ecuación cuadrática por fórmula general me sale la solución positiva con decimales:

El resultado que me sale es 30,14 y eso representa los meses que tendría que estar ahorrando con ese sistema para llegar a los 31000 y es totalmente válida ya que la pregunta del ejercicio es: "cuándo habrá ahorrado MÁS de 31000" y, dando la respuesta en meses completos, el resultado será el número entero que sigue a 30,14, es decir: 31 meses es la respuesta.

Saludos.