Question

Un trozo de alambre de 10 pies de longitud se corta en dos partes, con una parte se hace una cicunferencia y la otra se dobla en forma de cuadrado. ¿c´omo debe cortarse el alambre de modo que (a) el ´area total de las dos figuras sea la m´ınima posible; (b) el ´area total de las dos figuras sea la m´axima posible? .

Answer 1

Sean x e y las partes a cortar: x + y = 10

x el perímetro del cuadrado e y es el perímetro de la circunferencia

S = (x/4)² + π r²; y = 2 π r; r = y / 2 π; y = 10 - x

S = (x/4)² + π (10 - x)² / (2 π)² = x²/16 + (10 - x)² / (4 π)

El dominio de esta función es 0 < x < 10

S está representada por una parábola con concavidad hacia arriba, de modo que el valor mínimo está en el vértice de la misma

Derivamos respecto de x: (supongo que sabes derivar)

S' = [x (π + 4) - 40] / (8 π)

Resolvemos x para S' = 0; x = 40 / (π + 4) ≈ 5,6 pies

Entonces y = 10 - 5,6 = 4,4 pies

Superficie mínima:

S = (5,6 / 4)² + 4,4² / (4 π) = 3,5 pies² (mínimo)

El máximo esta en x = 0 o en x = 10 (implicaría no cortar el alambre)

Para x = 0; S = 10² / (4 π) = 7,96 pies²

Para x = 10; S = (10/4)² = 6,25 pies²

Máximo entonces S = 7,96 pies² (circunferencia solamente)

El valor 6,25 pies² corresponde con el cuadrado solamente.

El resultado es coherente con el hecho que entre las superficies de perímetro constante, el círculo es el de mayor área.

Se adjunta gráfico de la función S

Saludos Herminio